数理天地 > 平行四边形的性质

数学
  • 全部
  • 数学
  • 物理
  • 化学
  • 知识讲解
  • 典型例题
  • 精品课件
  • 平行四边形的定义
  • 平行四边形的性质
学习理解
1.平行四边形的定义
有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形用“”表示.如图所示,平行四边形ABCD记作“ABCD”.

状元笔记
平行四边形的定义有两个方面的作用:一、由定义知平行四边形的两组对边分别平行;二、由定义知只要四边形中两组对边分别平行,那么这个四边形就是平行四边形.
【示例】如图所示,在ABCD中,EF∥AB,GH∥AD,EF与GH交于点O,则该图中的平行四边形共有().

A.7个
B.8个
C.9个
D.11个
思路分析:根据平行四边形的定义知:在ABCD中,AB∥CD,AD∥BC,结合题意从而可得EF∥AB∥CD,GH∥AD∥BC,再根据定义知平行四边形有:DEOH,DEFC,DAGH,DABC,EAGO,EABF,HOFC,HGBC,OGBF,共9个,注意在数个数时要不漏不重,按一定的顺序去数.
答案:C
2.平行四边形的性质
平行四边形的性质有:
(1)平行四边形的对边相等;
(2)平行四边形的对角相等;
(3)平行四边形的对角线互相平分.
这三条性质都可以通过三角形全等证明,分别揭示了平行四边形的对边、对角的相等关系及对角线互相平分的关系,如图所示.

因为四边形ABCD是平行四边形,
所以(1)AB=CD,BC=AD(对边相等);
(2)∠BAD=∠DCB,∠ABC=∠ADC(对角相等);
(3)OA=OC,OB=OD(对角线互相平分).
平行四边形的性质的主要作用是:可以用来证明线段相等、角相等和两线平行等.
状元笔记
平行四边形的性质从三个不同的角度分别得到三个结论,值得注意的是在运用性质解决问题时,要根据具体问题,有选择地使用.
【示例1】,E、F分别是ABCD的边CD、AB上的点,且∠1=∠2,求证:AF=CE.

思路分析:要证明AF=CE,结合ABCD中AB=CD,只需证明BF=DE,这可以通过证明△BFC≌△DEA得到.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AD=BC,∠D=∠B.
又∵∠1=∠2,
∴ △ADE≌△CBF.
∴DE=BF.
∴CD-DE=AB-BF,
即CE=AF.
【示例2】如图,已知ABCD和EBFD的顶点B,D重合.求证:AE=CF.

思路分析:要证明AE=CF,显然用全等三角形可以证明,但由于题设中有两个平行四边形,而且AE、CF都在ABCD的对角线AC上,能否利用平行四边形的性质来证明呢?显然连接BD即可.
证明:连接BD,交AC于点O.
∵四边形ABCD和四边形EBFD均是平行四边形,
∴OA=OC,OE=OF.
∴OA-OE=OC-OF,
即AE=CF.
典例精析
【例1】如图所示,在ABCD中,∠A∶∠B=2∶7,求∠C的度数.

因为ABCD的两邻角的比为∠A∶∠B=2∶7,所以由平行四边形的性质可求各个角的度数.

∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,∠C=∠A.
∴∠A+∠B=180°.
∵∠A∶∠B=2∶7,设∠A=2x,
则∠B=7x.∴2x+7x=180°.解得x=20°.
∴∠C=∠A=40°.
技术化提示:在平行四边形中,只要知道一个角的度数或两角之间的和、差、倍、分之间的关系,就可以利用平行四边形邻角互补或对角相等的性质求其他各角的度数.


【例2】如图所示,在ABCD,∠ABC的平分线交AD于E,AB=3 cm,BC=4 cm,求DE的长.

由平行四边形的性质可知AD∥BC,由BE平分∠ABC可知△ABE是等腰三角形,从而易求DE的长.

∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC=4 cm.
∴∠EBC=∠AEB.
∵∠ABE=∠EBC,∴∠ABE=∠AEB.
∴AE=AB=3 cm.
∴DE=AD-AE=4-3=1(cm).
技术化提示:像这类直接求线段的长有困难时,可利用线段的和差关系进行转化.


【例3】平行四边形的一条角平分线分对边为3和4两部分,求平行四边形的周长.
错解:如图:

∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC.∴∠DAE=∠AEB.
∵AE平分∠BAD,
∴∠BAE=∠DAE.∴∠BAE=∠AEB.
∴AB=BE=3.∴EC=4.
∴平行四边形的周长=2(AB+BC)=2×(3+7)=20.
错解分析:题目没有结合具体图形指明哪部分长为3,哪部分长为4,因此有两种情况,这样就造成了漏解.

正解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC.∴∠DAE=∠AEB.
∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAE.
∴∠BAE=∠AEB.∴AB=BE.
当AB=BE=3时,如图(1),
平行四边形的周长=2(AB+BC)=2×(3+7)=20.
当AB=BE=4时,如图(2),
平行四边形的周长=2(AB+BC)=2×(4+7)=22.

技术化提示:画出图形,结合图形分情况讨论,防止漏解.


【例4】如图所示,已知ABCD中,E为AD的中点,CE的延长线交BA的延长线于点F.

(1)求证:CD=AF;
(2)若使∠F=∠BCF,ABCD的边长之间还需要再添加一个什么条件?请你补上这个条件,并进行证明(不要添加辅助线).
(1)由平行四边形的性质,证明△DEC≌△AEF,从而可得CD=AF;(2)由∠F=∠BCF,可知BC=BF,又由CD=BA和CD=AF,可知所添条件为BC=2AB.

(1)∵在ABCD中,CD∥AB,∴∠D=∠DAF.
∵∠DEC=∠AEF,DE=AE,∴△DEC≌△AEF.∴CD=AF.
(2)需补上条件:BC=2AB.
证明如下:由(1)知CD=AF,
∵CD=AB,∴AB=AF.
∴BF=AB+AF=2AB.
∵BC=2AB,∴BC=BF.∴∠F=∠BCF.
技术化提示:若探索条件是开放性题目,一般从结论入手,逐步探索寻觅所需条件,然后再加以证明.

平行四边形的性质
学科:数学 学段:初中
内容简介:学习平行四边形的概念和表示,说明平行四边形的性质。