细品教材
一､轴对称图形
如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形,这条直线就是它的对称轴.
在学习轴对称图形这个概念时,要注意从以下两个方面理解:
(1)直线两旁的部分是指同一个图形的两部分,不是两个图形;
(2)一个图形的对称轴一边的部分与这条对称轴另一边的部分完全重合.
一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条,有的轴对称图形的对称轴有多条,如正方形有四条对称轴,圆有无数条对称轴.
轴对称图形必须满足两个条件:一是存在一条直线,即对称轴;二是沿着这条直线折叠,折痕两旁的部分能够完全重合.
对于有多条对称轴的图形,要注意分类考虑.
【示例】下图中是轴对称图形的为( ).
A.
B.
C.
D.
思路分析:选项A､B､C中的图形均找不到这样的一条直线折叠后两边的部分能够重合,只有图形D符合轴对称图形的定义.
答案:D
二､轴对称
把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称,这条直线叫做对称轴,折叠后重合的点是对应点,叫做对称点.
学习轴对称这个概念时,可从以下两个方面理解:
(1)轴对称是指两个图形关于某直线对称;
(2)这两个图形不仅全等,而且还有一种特殊的位置关系,那就是沿某条直线折叠,能够完全重合.
轴对称与轴对称图形是两个完全不同的概念,其区别是:轴对称指的是两个图形;轴对称图形指的是一个图形.其共性是:沿某条直线折叠,两个图形(或一个图形的两旁)能够完全重合.
【示例】观察图12.1-2(1)(2)所示的图形中,它们具备轴对称关系吗?为什么?
图12.1-2
思路分析:根据轴对称的定义,可知它们具备轴对称关系.
解:它们具备轴对称关系.因为图12.1-2(1)和(2),分别沿某条直线对折都能够使这条直线两旁的部分互相重合.
三､轴对称的性质
性质1： 如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
性质2： 轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
性质1与性质2都揭示了对称点与对称轴的关系:
①对称轴垂直两个对称点的连线;
②对称轴平分两个对称点的连线.
要用联系的观点把握轴对称图形与轴对称的关系:若把关于轴对称的两个图形看作一个整体,则这个整体就是轴对称图形;若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形,则这两个图形关于这条直线轴对称.
【示例】如图12.1-3,四边形ABCD与四边形A1B1C1D1是关于直线l对称的,则被l垂直平分的线段有__________.
图12.1-3
思路分析:根据轴对称的性质,可知被l垂直平分的线段有两条.
答案:AA1､CC1
四､线段的垂直平分线
线段的垂直平分线的定义:经过线段中点,并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线.
线段垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
反过来,可得结论:到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上.
这两个性质是互逆的关系.
对于有些证明两条线段相等的相关问题,用线段垂直平分线的性质证明,比用三角形全等证明更简捷.
(1)线段的垂直平分线与线段垂直;
(2)线段的垂直平分线经过线段的中点;
(3)线段是轴对称图形,对称轴就是线段的垂直平分线.
【示例】如图12.1-4,已知在△ABC中,AB=AC=14 cm,AB的垂直平分线交AC于点D,垂足为E,△BCD的周长为24 cm,求BC的长.
图12.1-4
思路分析:由线段垂直平分线的性质可知BD与AD相等,由△BCD的周长为24 cm,可得AC与BC的和为24 cm.又AC已知,从而可求BC.
解:∵DE是AB的垂直平分线,∴DB=DA.
∵AC=14 cm,△BCD的周长为24 cm,
∴△BCD的周长=BC+BD+CD=BC+AC=BC+14=24(cm).
∴BC=10 cm.
归纳整理
本节的主要内容包括下列几个方面:一是轴对称图形的概念和性质;二是轴对称的概念和性质;三是线段的垂直平分线的概念和性质.重点是轴对称图形和轴对称的概念,难点是轴对称图形和轴对称的性质的理解与运用,正确理解轴对称图形与轴对称之间的区别与联系.
答案:①两旁的部分 ②另一个图形 ③任何一对对应点 ④相等 ⑤垂直平分线
一､轴对称图形
如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形,这条直线就是它的对称轴.
在学习轴对称图形这个概念时,要注意从以下两个方面理解:
(1)直线两旁的部分是指同一个图形的两部分,不是两个图形;
(2)一个图形的对称轴一边的部分与这条对称轴另一边的部分完全重合.
一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条,有的轴对称图形的对称轴有多条,如正方形有四条对称轴,圆有无数条对称轴.
轴对称图形必须满足两个条件:一是存在一条直线,即对称轴;二是沿着这条直线折叠,折痕两旁的部分能够完全重合.
对于有多条对称轴的图形,要注意分类考虑.
【示例】下图中是轴对称图形的为( ).
A.
B.
C.
D.
思路分析:选项A､B､C中的图形均找不到这样的一条直线折叠后两边的部分能够重合,只有图形D符合轴对称图形的定义.
答案:D
二､轴对称
把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称,这条直线叫做对称轴,折叠后重合的点是对应点,叫做对称点.
学习轴对称这个概念时,可从以下两个方面理解:
(1)轴对称是指两个图形关于某直线对称;
(2)这两个图形不仅全等,而且还有一种特殊的位置关系,那就是沿某条直线折叠,能够完全重合.
轴对称与轴对称图形是两个完全不同的概念,其区别是:轴对称指的是两个图形;轴对称图形指的是一个图形.其共性是:沿某条直线折叠,两个图形(或一个图形的两旁)能够完全重合.
【示例】观察图12.1-2(1)(2)所示的图形中,它们具备轴对称关系吗?为什么?
图12.1-2
思路分析:根据轴对称的定义,可知它们具备轴对称关系.
解:它们具备轴对称关系.因为图12.1-2(1)和(2),分别沿某条直线对折都能够使这条直线两旁的部分互相重合.
三､轴对称的性质
性质1： 如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
性质2： 轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
性质1与性质2都揭示了对称点与对称轴的关系:
①对称轴垂直两个对称点的连线;
②对称轴平分两个对称点的连线.
要用联系的观点把握轴对称图形与轴对称的关系:若把关于轴对称的两个图形看作一个整体,则这个整体就是轴对称图形;若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形,则这两个图形关于这条直线轴对称.
【示例】如图12.1-3,四边形ABCD与四边形A1B1C1D1是关于直线l对称的,则被l垂直平分的线段有__________.
图12.1-3
思路分析:根据轴对称的性质,可知被l垂直平分的线段有两条.
答案:AA1､CC1
四､线段的垂直平分线
线段的垂直平分线的定义:经过线段中点,并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线.
线段垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
反过来,可得结论:到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上.
这两个性质是互逆的关系.
对于有些证明两条线段相等的相关问题,用线段垂直平分线的性质证明,比用三角形全等证明更简捷.
(1)线段的垂直平分线与线段垂直;
(2)线段的垂直平分线经过线段的中点;
(3)线段是轴对称图形,对称轴就是线段的垂直平分线.
【示例】如图12.1-4,已知在△ABC中,AB=AC=14 cm,AB的垂直平分线交AC于点D,垂足为E,△BCD的周长为24 cm,求BC的长.
图12.1-4
思路分析:由线段垂直平分线的性质可知BD与AD相等,由△BCD的周长为24 cm,可得AC与BC的和为24 cm.又AC已知,从而可求BC.
解:∵DE是AB的垂直平分线,∴DB=DA.
∵AC=14 cm,△BCD的周长为24 cm,
∴△BCD的周长=BC+BD+CD=BC+AC=BC+14=24(cm).
∴BC=10 cm.
归纳整理
本节的主要内容包括下列几个方面:一是轴对称图形的概念和性质;二是轴对称的概念和性质;三是线段的垂直平分线的概念和性质.重点是轴对称图形和轴对称的概念,难点是轴对称图形和轴对称的性质的理解与运用,正确理解轴对称图形与轴对称之间的区别与联系.
答案:①两旁的部分 ②另一个图形 ③任何一对对应点 ④相等 ⑤垂直平分线
