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细品教材
一、轴对称图形
如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形,这条直线就是它的对称轴.
在学习轴对称图形这个概念时,要注意从以下两个方面理解:
(1)直线两旁的部分是指同一个图形的两部分,不是两个图形;
(2)一个图形的对称轴一边的部分与这条对称轴另一边的部分完全重合.
一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条,有的轴对称图形的对称轴有多条,如正方形有四条对称轴,圆有无数条对称轴.
轴对称图形必须满足两个条件:一是存在一条直线,即对称轴;二是沿着这条直线折叠,折痕两旁的部分能够完全重合.
对于有多条对称轴的图形,要注意分类考虑.
【示例】下图中是轴对称图形的为(  ).
A.
B.
C.
D.
思路分析:选项A、B、C中的图形均找不到这样的一条直线折叠后两边的部分能够重合,只有图形D符合轴对称图形的定义.
答案:D
二、轴对称
把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称,这条直线叫做对称轴,折叠后重合的点是对应点,叫做对称点.
学习轴对称这个概念时,可从以下两个方面理解:
(1)轴对称是指两个图形关于某直线对称;
(2)这两个图形不仅全等,而且还有一种特殊的位置关系,那就是沿某条直线折叠,能够完全重合.
轴对称与轴对称图形是两个完全不同的概念,其区别是:轴对称指的是两个图形;轴对称图形指的是一个图形.其共性是:沿某条直线折叠,两个图形(或一个图形的两旁)能够完全重合.
【示例】观察图12.1-2(1)(2)所示的图形中,它们具备轴对称关系吗?为什么?

图12.1-2
思路分析:根据轴对称的定义,可知它们具备轴对称关系.
解:它们具备轴对称关系.因为图12.1-2(1)和(2),分别沿某条直线对折都能够使这条直线两旁的部分互相重合.
三、轴对称的性质
性质1: 如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
性质2: 轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
性质1与性质2都揭示了对称点与对称轴的关系:
①对称轴垂直两个对称点的连线;
②对称轴平分两个对称点的连线.
要用联系的观点把握轴对称图形与轴对称的关系:若把关于轴对称的两个图形看作一个整体,则这个整体就是轴对称图形;若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形,则这两个图形关于这条直线轴对称.
【示例】如图12.1-3,四边形ABCD与四边形A1B1C1D1是关于直线l对称的,则被l垂直平分的线段有__________.

图12.1-3
思路分析:根据轴对称的性质,可知被l垂直平分的线段有两条.
答案:AA1、CC1
四、线段的垂直平分线
线段的垂直平分线的定义:经过线段中点,并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线.
线段垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
反过来,可得结论:到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上.
这两个性质是互逆的关系.
对于有些证明两条线段相等的相关问题,用线段垂直平分线的性质证明,比用三角形全等证明更简捷.
(1)线段的垂直平分线与线段垂直;
(2)线段的垂直平分线经过线段的中点;
(3)线段是轴对称图形,对称轴就是线段的垂直平分线.
【示例】如图12.1-4,已知在△ABC中,AB=AC=14 cm,AB的垂直平分线交AC于点D,垂足为E,△BCD的周长为24 cm,求BC的长.

图12.1-4
思路分析:由线段垂直平分线的性质可知BD与AD相等,由△BCD的周长为24 cm,可得AC与BC的和为24 cm.又AC已知,从而可求BC.
解:∵DE是AB的垂直平分线,∴DB=DA.
∵AC=14 cm,△BCD的周长为24 cm,
∴△BCD的周长=BC+BD+CD=BC+AC=BC+14=24(cm).
∴BC=10 cm.

归纳整理
本节的主要内容包括下列几个方面:一是轴对称图形的概念和性质;二是轴对称的概念和性质;三是线段的垂直平分线的概念和性质.重点是轴对称图形和轴对称的概念,难点是轴对称图形和轴对称的性质的理解与运用,正确理解轴对称图形与轴对称之间的区别与联系.

答案:①两旁的部分 ②另一个图形 ③任何一对对应点 ④相等 ⑤垂直平分线
典例精析
一、基础知识题型
【例1】在下列各电视台的台标图案中,为轴对称图形的是(  ).
A.
B.
C.
D.
根据轴对称图形的定义,逐一观察检验,可知图案A、B、D不是轴对称图形,只有图案C符合.

C
提示:关键是看能否找到一条直线,使图形沿该直线折叠,直线两旁部分重合.


【例2】下列说法中错误的是(  ).
A.成轴对称的两个图形中对称轴是对称点连线的垂直平分线
B.对称轴对于轴对称图形来说是唯一的一条直线
C.对称轴是一条具有特殊位置的直线
D.对称轴对于成轴对称的两个图形来说是唯一的一条直线
根据轴对称图形和轴对称的性质,可知A、C、D的说法是正确的;对于有些轴对称图形,对称轴不止一条,所以说法B是错误的.

B
提示:关于这类辨析判断问题,一要根据轴对称图形和轴对称的概念;二要抓住轴对称图形和轴对称的性质.


【例3】观察下列用纸折成的图案,如图12.1-6所示,其中是轴对称图形的有(  ).

图12.1-6
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
从上述五个图案看,虽然“花瓣”呈现的形式不同,但都能找到一条直线,把图形沿该直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合.

D
提示:观察一个图形是不是轴对称图形,除了正确运用轴对称图形的概念外,还要善于从不同的角度观察,看这个图形是否有对称轴.


二、综合拓展题型
【例4】请在图12.1-7中画出线段AB关于直线l1的对称线段A1B1,关于直线l2的对称线段A2B2.

图12.1-7
根据轴对称的性质,可分别画出线段AB关于直线l1的对称线段A1B1,关于直线l2的对称线段A2B2.

如图12.1-8,过点A作AE⊥l1于E,并延长到A1,使A1E=AE.过点B作BF⊥l1于点F,并延长到点B1,使B1F=BF.连接A1B1,则A1B1就是AB关于直线l1的对称线段.

图12.1-8
同理可画AB关于直线l2的对称线段A2B2,如图12.18所示.
提示:线段是由两个端点确定的,所以关键是作出某线段关于直线对称的两个对应端点.


【例5】如图12.1-9,在△ABC中,∠C=90°,ED⊥AB于D,BD=AD,∠BAC=∠AEC,求证:ED=EC.

图12.1-9
由∠C=90°,ED⊥AB,BD=AD,AE=BE,可知△AED≌△BED,△AED≌△AEC,再由三角形全等,可得∠BAC与∠B之间的数量关系.

证法一:∵ED⊥AB,BD=AD,∴EA=EB.
∴△AED≌△BED.∴∠EAB=∠B.
∵∠EAB+∠B=∠AEC,∴∠AEC=2∠EAB.
∵∠BAC=∠AEC,∴∠BAC=2∠EAB.∴∠EAB=∠EAC.
∵AE=AE,∠C=90°=∠ADE,∴△AED≌△AEC.∴ED=EC.
证法二:∵ED⊥AB,BD=AD,∴EA=EB.
∴△AED≌△BED.∴∠EAB=∠B.∵∠EAB+∠B=∠AEC,
∴∠AEC=2∠EAB.∵∠BAC=∠AEC,∴∠BAC=2∠EAB.
∴∠EAB=∠EAC.∵∠C=90°=∠ADE,
∴ED=EC(角平分线上的点到角两边距离相等).
提示:证法一是利用线段垂直平分线的性质证明三角形全等;证法二既用了线段垂直平分线的性质,又用了角的平分线的性质.


三、探究创新题型
【例6】如图12.1-10,在公路OA、OB的交叉区域有M、N两所学校,现在要在此交叉区域中建一个图书馆P,使它到两条公路的距离相等,到两所学校的距离也相等,请你在图中标出图书馆的位置P.

图12.1-10
要点P到两条公路OA、OB的距离相等,只需点P在∠AOB的平分线上;要点P到两所学校M、N的距离相等,只需点P在线段MN的垂直平分线上.由此可得图书馆的位置P.

(1)作∠AOB的平分线OC;
(2)连接MN,作线段MN的垂直平分线EF,设MN与EF交于点P,则点P就是所求的点.
提示:这是轴对称在解决实际问题中的一个应用,其实质是将这类实际问题转化为作角的平分线和线段的垂直平分线.

 
链接中考
轴对称是中考常考的内容.考查的形式多样,既有选择题和填空题,也有解答题,其基本趋向是:大多以选择题或填空题的形式出现,所涉及的图形丰富多彩,既有一般的几何图形,也有生活中的图案;若以解答题形式出现,则大多是轴对称图形或轴对称的性质的应用.线段垂直平分线的性质常常结合后面学习的四边形或其他复杂图形,进行综合考查.考分一般为3~4分.
【例1】(2008・浙江绍兴,2)下列各图中为轴对称图形的是(  )
A.
B.
C.
D.
C

判别这四个正方形图形是不是轴对称图形,关键是看它们中的阴影部分是不是轴对称图形关系.显然图形A、B、D中间的阴影部分不是轴对称关系.

 
【例2】(2008・山东枣庄,7)如下的四幅图案中,不是轴对称图形的是(  ).
A.
B.
C.
D.
A

根据轴对称图形的概念,可知图形B、C、D都是轴对称图形.
垂直平分线
学科:数学 学段:初中
内容简介:学习线段垂直平分线的概念,并利用垂直平分线的特点来解决生活中的实际问题。通过实验得到结论:垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。这个结论的逆定理也是成立的。