数理天地 > 对顶角

数学
  • 全部
  • 数学
  • 物理
  • 化学
  • 知识讲解
  • 典型例题
  • 精品课件
  • 相交线和邻补角
  • 对顶角
  • 方位角
学习理解
一、相交线和邻补角
如果两条直线有一个公共点,那么这两条直线相交,相交两条直线所成的四个角中相邻的两个角互为邻补角.互为邻补角的两个角的特征是有一条公共边,两个角的另一条边互为反向延长线.
状元笔记
1.一个角的邻补角有两个;
2.邻补角是有着特殊位置关系的补角,它不仅要求“互补”,而且要“相邻”.
【示例】如图,直线AB、CD、EF相交于一点O.

(1)_____是∠COF的邻补角;
(2)若∠AOE=60°,则∠AOF=_____.
思路分析:根据邻补角的定义、性质解题.
答案:(1)∠COE和∠DOF
(2)120°
二、对顶角
性质:对顶角相等.
如图,直线a、b相交形成四个夹角,其中∠1和∠3,∠2和∠4有公共的顶点,并且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线.我们说∠1和∠3,∠2和∠4互为对顶角.

∠1和∠3都是∠2的邻补角,根据“同角的补角相等”可知∠1=∠3,同理∠2=∠4.
状元笔记
1.对顶角可以帮助我们把已知条件进行转换集中,初学者易于忽视这一点.
2.不要理解为有公共顶点的角就是对顶角.
【示例】如图,直线AB和CD交于点O,∠1+∠2=280°,则∠1=_____.

思路分析:由条件可知∠1和∠2互为对顶角.所以∠1=∠2,结合∠1+∠2=280°,可求∠1的度数.
答案:140°
三、方位角
在航空、航海和测绘中,经常用到一种表示方向的角,叫做方位角.通常以正北、正南方向为基准,描述物体运动的方向.
典例精析
【例1】如图,AB、CD相交于点O,OE⊥AB,那么下列结论错误的是(  ).

A.∠AOC与∠COE互为余角
B.∠BOD与∠COE互为余角
C.∠COE与∠BOE互为补角
D.∠AOC与∠BOD是对顶角
显然选项A中两个角的和为90°,选项D中∠AOC与∠BOD是对顶角,所以∠AOC=∠BOD,故∠BOD+∠COE=90°.而选项C中∠COE和∠BOE的和小于180°,所以选项C错误.

C
技术提示
多条直线交于一点,找一个角的邻补角、对顶角时,要看清这两个角两边所在的直线.


【例2】如图,三条直线AB,CD,EF交于点O,图中的对顶角有多少对?若有n条直线交于一点有多少对对顶角呢?

首先找出图中一共有多少个小于平角的角,每相对的两个角组成对顶角.

(1)三条直线可看成6条射线,以一条射线为边的角有(6-2)个,共有个角,对顶角有12÷2=6对.
(2) .
技术提示
从特殊到一般的思想是一种常见的思维方法,往往从特殊例子中进行猜想和验证,从而得出一般的规律.


【例3】如图所示,在O处测得北偏东30°的小岛A处有一暗礁区,为避开这一危险区,轮船在O处应改为向东北方向航行才能避开这一危险区.

(1)在图中画出轮船的航线;
(2)求出轮船航线与OA的夹角.
根据题意以O为原点,可分别画出北偏东30°和东北两条方向线,再结合题意求解.

(1)画图如下图,∠NOM=45°.

所以射线OM就是轮船的航线.
(2)因为∠NOA=30°,∠NOM=45°,
所以∠AOM=∠NOM-∠NOA=45°-30°=15°.
所以轮船航线与OA的夹角为15°.
提示:在方位图中,以南北方向为主方向,由此确定其他方向线.

邻补角与对顶角
学科:数学 学段:初中
内容简介:通过图形学习了邻补角的概念及其性质,并推出对顶角性质:对顶角相等。最后学习了什么样的角是对顶角。
相交线
学科:数学 学段:初中
内容简介:通过实例学习相交线的概念,再由相交线引出邻补角和对顶角的定义与性质。