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细品教材
一、有理数的乘法法则
两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘;任何数同0相乘,都得0.
(1)两个有理数相乘,先确定积的符号,再确定积的绝对值;
(2)积的符号由两个因数的符号决定,当两个因数的符号相同时积为正;当两个因数的符号相反时,积是负数;
(3)积的绝对值由两个因数的绝对值相乘而得.
多个有理数相乘,可以把它们按顺序依次相乘;也可先确定积的符号,再把因数的绝对值相乘,得积的绝对值;几个不是0的数相乘,积的符号由负因数个数决定,当负因数的个数为偶数个时积为正,负因数的个数为奇数个时积为负.
提醒注意:(1)在进行小数和带分数的乘法运算时,要先把小数化成分数,带分数化成假分数,这样便于约分;
(2)有理数乘法与有理数加法的运算步骤基本相同:第一步确定积的符号;第二步确定绝对值.
【示例】计算:
(1)(-3)×(-4);(2)6×(-);
(3)15×(-)×(-1)×(-1.2);(4)2 007×(-2 008)×0×2 009.
思路分析:根据运算法则先确定积的符号,再由因数绝对值之积得积的绝对值.(1)为同号相乘;(2)为异号相乘;(3)负因数有奇数个;(4)有因数0.
解:(1)(-3)×(-4)=(-)×(-4)=×4=14.
(2)6×(-)=×(-)=-(×)=-5.
(3)15×(-)×(-1)×(-1.2)=-(15×××)=-27.
(4)2 007×(-2008)×0×2 009=0.
二、倒数
乘积为1的两个数互为倒数.“互为倒数”说明倒数表示的是两个数之间的关系,如:-3和-互为倒数,“-是倒数”的说法是错误的.0和任何数相乘都不等于1,因此0没有倒数,a(a≠0)的倒数为;倒数的结果必须化为最简形式,使分母中不含小数和分数.
提醒注意:(1)正数的倒数是正数,负数的倒数是负数,也就是说两个互为倒数的有理数一定同号;在符号理解上不要与相反数相混淆.
(2)求分数的倒数,只要把这个分数的分子与分母颠倒位置,符号不变.
【示例】求下列各数的倒数.
(1)-3;(2) ;(3)-0.2;(4)-2.
思路分析:整数a(a≠0)的倒数是;分子、分母的位置颠倒后可得到原分数的倒数;求小数的倒数,可先把小数化成分数,再求它的倒数;求带分数的倒数可先把其化为假分数.
解:(1)-3的倒数为-;(2) 的倒数为;
(3)因为-0.2=-,所以-0.2的倒数为-5;
(4)因为-2=-,所以-2的倒数为-.
三、有理数的乘法运算律
小学所学的乘法运算律在有理数范围内仍然成立.
(1)乘法交换律:两个数相乘,交换因数的位置,积相等,即ab=ba.
(2)乘法结合律:三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积相等,即(ab)c=a(bc).
(3)分配律:一个数同两个数的和相乘,等于把这两个数分别同这个数相乘,再把积相加,即a(b+c)=ab+ac.
乘法的运算律与加法的运算律类似,适用于多个有理数相乘.在运用分配律时一个因数要与括号里的每一个数相乘,不能漏乘任何一项.
提醒注意:利用分配律进行乘法运算时,常常出错的是:漏乘括号中的某个数或几个数或弄错符号.
【示例】计算(-+-+)×(-36).
思路分析:本题-36同四个数的和相乘,且这四个数的分母均为36的约数,因此用乘法分配律较简便.
解:原式=(-)×(-36)+×(-36)+(-)×(-36)+×(-36)=21+(-27)+30-10=51-37=14.
四、有理数的除法法则
(1)一个数除以一个不等于0的数,等于乘以这个数的倒数;
(2)两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除,0除以任何一个不等于0的数,都得0.
将有理数的除法转化为乘法时,“÷”变成“×”,除数变成它的倒数,因此,乘法与除法可以统一成乘法,故乘法与除法是同一级运算.
提醒注意:运用有理数除法法则进行计算要灵活,一般在不能整除的情况下,运用上面的法则(1),如:÷(-1)=÷(-)=×(-)=-;一般在能整除的情况下,运用上面的法则(2),如:(-8)÷(-2)=4.
【示例】计算:(1)(-1)÷(-);(2)(-35)÷7;
(3)[(+)-(-)-(+)]÷(-).
思路分析:(1)题中两数不能整除,运用法则(1)较易;(2)题中两数能整除,运用法则(2)先确定商的符号,再将绝对值相除作为商的绝对值;(3)题除法转化为乘法,用分配律运算较易.
解:(1)原式=(-)×(-)=(×)=;
(2)原式=-(35÷7)=-5;
(3)原式=(+-)×(-105)
=×(-105)+×(-105)-×(-105)
=-15-35+21
=-29.
五、有理数的乘除混合运算
有理数的乘除混合运算通常先统一为乘法,变成多个有理数相乘,计算时应注意:
(1)乘法与除法是同一级计算,应按从左到右的顺序运算;
(2)结果的符号由算式中负数的个数决定,负数的个数是奇数时结果为负,负数的个数是偶数时结果为正;
(3)乘、除统一为乘法后,应先约分再相乘.
做有理数的四则混合计算题时,应遵循有括号先算括号(先算小括号,再算中括号,最后算大括号);无括号按“先乘除,后加减”的顺序计算.
【示例】计算:(1) ×(-5)÷(-)×5;
(2) -[(-3)×÷|-|]÷(-).
思路分析:(1)题将乘除统一为乘法后用结合律运算.
(2)题是一道含绝对值的加、减、乘、除混合运算题,应先算括号里面的.
解:(1)原式=×(-5)×(-5)×5=25;
(2)原式=-[(-)××]×(-5)
=-(-)×(-5)=-4=-3.
六、分数符号的化简
对于一个分数,若分子、分母、分数这三者的符号中同时改变其中两个的符号,分数的值不变.
在进行分数符号的化简时,关键是要确定分子、分母、分数这三者中负号的个数.若负号是一个或三个,整个式子的值为负;若负号是两个,则整个式子的值为正.
提醒注意:(1)分数符号化简的依据是分数除法法则;
(2)谨防化简分数符号,导致分数的值发生变化.
【示例】化简(1) ;(2)-;(3)-.
思路分析:分数线有除号作用,可根据除法法则进行变形.
解:(1) =(-2)÷(-3)=2÷3=.(同时改变了分子、分母的符号)
(2)-=-[6÷(-7)]=-(-)=.(同时改变了分母、分数本身的符号)
(3)-=-[(-4)÷(-5)]=-(4÷5)=-.(同时改变了分子、分母的符号)
 
归纳整理
本节内容比较多,主要包括下列几个方面:一是有理数的乘法法则;二是有理数的乘法运算律;三是倒数的概念;四是有理数的除法法则;五是有理数的加、减、乘、除混合运算.有理数的乘法法则和有理数的除法法则是重点,确定积或商的符号是难点,进行有理数的乘、除法计算的关键是正确运用有理数的乘除法法则.

答案:①负 ②绝对值 ③积为1 ④0 ⑤倒数 ⑥负 ⑦绝对值 ⑧因数 ⑨前两个数 ⑩这两个数 ⑪两个
典例精析
一、基础知识题型
【例1】在算式-57×24+36×24-79×24=(-57+36-79)×24中,运用了(  )
A.加法交换律
B.乘法交换律
C.乘法结合律
D.乘法分配律
将所给算式等号两边交换位置,得(-57+36-79)×24=-57×24+36×24-79×24,显然这是运用了乘法分配律,所以题中的算式逆用了乘法分配律.

D
提示:在有理数的乘法运算中,要注意逆用乘法分配律,运用得好,可以有效地简化计算过程.

 
【例2】计算(-1)÷(-5)×(-)的结果是(  )
A.-1
B.1
C.-
D.-25
因为算式中只含有乘除同一级运算,所以只需按照从左到右的运算顺序计算,即(-1)÷(-5)×(-)=(-1)×(-)×(-)=-.

C
提示:(1)像这样只含有乘除同级运算,计算之前应先确定计算结果的符号,以免出现符号错误;(2)将乘除混合运算转化为乘法运算.

 
【例3】计算:(-1)÷(-15)×.
错解:原式=-1÷[(-15)×]=-1÷(-1)=1.
错解分析:乘除同级运算其运算顺序为从左至右计算,使用运算律应在乘除统一为乘法之后.

正解:原式=(-1)×(-)×=×=.


【例4】用简便方法计算.
(1)19×(-11);
(2)3.59×(-)+2.41×(-)-6×(-);
(3)(-1)×(-2)×(+3)×(+)÷(-)÷(-).
(1)题19较接近于20,因此(1)题用拆拼法可将19写成“20-”后用乘法分配律较简便.(2)题式子的意义为乘积之和,三个积中有相同的因数“-”,因此宜逆用乘法分配律.(3)题将乘、除法统一为乘法后可恰当地运用交换律和结合律.

(1)原式=(20-)×(-11)=20×(-11)-×(-11)=-220+=-119.
(2)原式=(-)×(3.59+2.41-6)=(-)×(6-6)=(-)×0=0.
(3)原式=(-)×(-)×××(-)×(-)
=[(-)×]×[(-)×(-)]×[×(-)]
=-×1×(-1)=.
提示:一个与整数较接近的分数乘以整数,将该分数写成整数与一个恰当的分数形式后,用分配律较简便;在含有乘积的和的式子中,若各个积中有相同的因数将分配律逆用,能使计算简便.

 
二、综合拓展题型
【例5】计算:1÷(1-8××)+(-)÷(-).
有理数四则混合运算先乘除,后加减,有括号先算括号里面的.

原式=1÷(1-)+(-)×(-)=1÷(-)+
=1÷(-)+=1×(-)+
=-+=-.           
提示:除法没有分配律,不可将1÷(1-)写成1÷1-1÷.

 
【例6】计算:
(1)(-)×(-2)×(-4)×(-5)×(-25)×5;
(2)(-)÷(-+-).
(1)可先确定积的符号,再将它们的绝对值相乘,也可分类相乘;(2)可先直接将除式中四个分数相加减,将所得结果与被除数相除,也可将除式中四个分数分类相加减,将所得结果与被除数相除.

(1)方法一:(-)×(-2)×(-4)×(-5)×(-25)×5
=-(×2×4××25×5)=-3 000.
方法二:(-)×(-2)×(-4)×(-5)×(-25)×5
=[(-2)×5×(-4)×(-25)]×[(-)×(-)]=-3000.
(2)方法一:(-)÷(-+-)=(-)÷(-+-)
=(-)÷=(-)×3=-.
方法二:(-)÷(-+-)=(-)÷[(+)-(+)]
=(-)÷(-)=(-)÷
=(-)×3=-.
提示:(1)中的方法一先确定积的符号,再将绝对值相乘;方法二是利用乘法的交换律、结合律简化计算.(2)中的两种方法的共同点都是先计算第二个小括号内的分数,方法二在计算第二个小括号内的分数时运用了加法结合律.

 
【例7】一天,甲、乙两人利用温差测量山峰的高度,甲在山顶测温度是-1 ℃,乙在山脚测温度为5 ℃,已知该地区每增加100米,气温大约降低0.6 ℃,则这个山峰的高度大约是多少米?
先计算出山顶温度与山脚温度的差,再由“每增加100米,气温大约降低0.6 ℃”,可求出山峰的高度.

依题意有100×{[5-(-1)]÷0.6}=100×[(5+1)÷0.6]
=100×(6÷0.6)=100×10=1 000(米).
∴这个山峰的高度大约是1000米.
提示:根据温度差与0.6的倍数关系,利用有理数的乘除法法则求山峰的高度.

 
三、探究创新题型
【例8】计算(-1)(-1)(-1)…(-1)(-1).
由于这个算式中,每个括号里的差都是一个负分数,且前一个分数的分子与后一个分数的分母相同,相乘时,第一个分数的分子与最后一个分数的分母都可约去,依此规律可计算出结果.

因为-1=-,-1=-,-1=-,…,
-1=-,-1=-,
共有1 010个负数,所以相乘,得
(-1)( -1)( -1)…(-1)( -1)     
=(-)(-)(-)…(-)(-)
=.
提示:这个算式的结构特征是:每个括号内的分母与分子的差为“1”,且前一个分数的分子与后一个分数的分母相同,利用这种关系就可简化计算.对于计算这类有理数乘法,如果直接计算,不但复杂,而且难以计算出正确结果,要根据不同算式的结构特征,发现其规律,然后运用规律简化计算.

 
【例9】七年级(3)班8名女生进行了100 m短跑测试,达标成绩为18 s,下面的表格记录了她们的成绩,其中“+”表示成绩大于18 s,“-”表示成绩小于18 s.

问:(1)这些女生的达标率是多少?
(2)平均成绩为多少秒?
(1)由于达标成绩为18s,表中成绩等于或大于18 s的女生有4人,由此可计算出达标率;(2)可先计算表中第一行的平均数,再加上18即得她们的平均成绩.

(1)4÷8=50%.
(2)-1+0.8-1.2-0.1+0+0.5-0.6+0=-1.6,
平均成绩为18+(-1.6)÷8=18+(-0.2)=17.8(s).            
提示:在计算一组数据比较大或比较复杂的平均数,且这些数据比较接近某个数时,可采用这种简便的计算方法.这个实例说明有理数在实际问题中的一个方面的应用.


链接中考
根据有理数的乘、除法法则和乘法运算律,正确地进行有理数的乘、除运算,是数学中的必备技能,是课标中考试题的必考内容.课标中考试题对本节内容的考查形式多样,其题型大多是基础知识的填空题、选择题,涉及的知识点为乘、除运算法则和倒数的意义,综合计算题一般与后面的内容结合在一起.考分约为3分.
【例1】(2008・浙江绍兴,1)下列计算结果等于1的是(  )
A.(-2)+(-2)
B.(-2)-(-2)
C.-2×(-2)
D.(-2)÷(-2)
D

A中为-4,B中为0,C中为4,D中为1.

 
【例2】(2008・河北,1)-8的倒数是(  )
A.8
B.-8
C.
D.-
D

根据倒数的定义,得-8的倒数是1÷(-8)=-.
  
倒数
学科:数学 学段:初中
内容简介:通过一组结果为1的加减乘除算式引入倒数的概念,详细分析了真分数、假分数、分子为1的分数和不为0的整数的倒数的特点。
有理数的乘除法
学科:数学 学段:初中
内容简介:学习了有理数的乘除法及乘除混合运算,总结了有理数的四则混合运算法则。