细品教材
一、有理数的乘法法则
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同0相乘，都得0.
(1)两个有理数相乘，先确定积的符号，再确定积的绝对值；
(2)积的符号由两个因数的符号决定，当两个因数的符号相同时积为正；当两个因数的符号相反时，积是负数；
(3)积的绝对值由两个因数的绝对值相乘而得．
多个有理数相乘，可以把它们按顺序依次相乘；也可先确定积的符号，再把因数的绝对值相乘，得积的绝对值；几个不是0的数相乘，积的符号由负因数个数决定，当负因数的个数为偶数个时积为正，负因数的个数为奇数个时积为负．
提醒注意：(1)在进行小数和带分数的乘法运算时，要先把小数化成分数，带分数化成假分数，这样便于约分；
(2)有理数乘法与有理数加法的运算步骤基本相同：第一步确定积的符号；第二步确定绝对值．
【示例】计算：
(1)(－3
)×(－4)；(2)6
×(－
)；
(3)15×(－
)×(－1)×(－1.2)；(4)2 007×(－2 008)×0×2 009.
思路分析：根据运算法则先确定积的符号，再由因数绝对值之积得积的绝对值．(1)为同号相乘；(2)为异号相乘；(3)负因数有奇数个；(4)有因数0.
解：(1)(－3)×(－4)＝(－
)×(－4)＝×4＝14.
(2)6×(－)＝
×(－)＝－(×)＝－5.
(3)15×(－)×(－1)×(－1.2)＝－(15××
×
)＝－27.
(4)2 007×(－2008)×0×2 009＝0.
二、倒数
乘积为1的两个数互为倒数．“互为倒数”说明倒数表示的是两个数之间的关系，如：－3和－
互为倒数，“－是倒数”的说法是错误的．0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数，a(a≠0)的倒数为
；倒数的结果必须化为最简形式，使分母中不含小数和分数．
提醒注意：(1)正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，也就是说两个互为倒数的有理数一定同号；在符号理解上不要与相反数相混淆．
(2)求分数的倒数，只要把这个分数的分子与分母颠倒位置，符号不变．
【示例】求下列各数的倒数．
(1)－3；(2)
；(3)－0.2；(4)－2
.
思路分析：整数a(a≠0)的倒数是；分子、分母的位置颠倒后可得到原分数的倒数；求小数的倒数，可先把小数化成分数，再求它的倒数；求带分数的倒数可先把其化为假分数．
解：(1)－3的倒数为－；(2) 的倒数为
；
(3)因为－0.2＝－
，所以－0.2的倒数为－5；
(4)因为－2＝－
，所以－2的倒数为－
.
三、有理数的乘法运算律
小学所学的乘法运算律在有理数范围内仍然成立．
(1)乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即ab＝ba.
(2)乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等，即(ab)c＝a(bc)．
(3)分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这两个数分别同这个数相乘，再把积相加，即a(b＋c)＝ab＋ac.
乘法的运算律与加法的运算律类似，适用于多个有理数相乘．在运用分配律时一个因数要与括号里的每一个数相乘，不能漏乘任何一项．
提醒注意：利用分配律进行乘法运算时，常常出错的是：漏乘括号中的某个数或几个数或弄错符号．
【示例】计算(－
＋
－＋
)×(－36)．
思路分析：本题－36同四个数的和相乘，且这四个数的分母均为36的约数，因此用乘法分配律较简便．
解：原式＝(－)×(－36)＋×(－36)＋(－)×(－36)＋×(－36)＝21＋(－27)＋30－10＝51－37＝14.
四、有理数的除法法则
(1)一个数除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数；
(2)两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0除以任何一个不等于0的数，都得0.
将有理数的除法转化为乘法时，“÷”变成“×”，除数变成它的倒数，因此，乘法与除法可以统一成乘法，故乘法与除法是同一级运算．
提醒注意：运用有理数除法法则进行计算要灵活，一般在不能整除的情况下，运用上面的法则(1)，如：÷(－1
)＝÷(－
)＝×(－
)＝－；一般在能整除的情况下，运用上面的法则(2)，如：(－8)÷(－2)＝4.
【示例】计算：(1)(－1)÷(－)；(2)(－35)÷7；
(3)[(＋
)－(－)－(＋)]÷(－
)．
思路分析：(1)题中两数不能整除，运用法则(1)较易；(2)题中两数能整除，运用法则(2)先确定商的符号，再将绝对值相除作为商的绝对值；(3)题除法转化为乘法，用分配律运算较易．
解：(1)原式＝(－
)×(－)＝(×)＝
；
(2)原式＝－(35÷7)＝－5；
(3)原式＝(＋－)×(－105)
＝×(－105)＋×(－105)－×(－105)
＝－15－35＋21
＝－29.
五、有理数的乘除混合运算
有理数的乘除混合运算通常先统一为乘法，变成多个有理数相乘，计算时应注意：
(1)乘法与除法是同一级计算，应按从左到右的顺序运算；
(2)结果的符号由算式中负数的个数决定，负数的个数是奇数时结果为负，负数的个数是偶数时结果为正；
(3)乘、除统一为乘法后，应先约分再相乘．
做有理数的四则混合计算题时，应遵循有括号先算括号(先算小括号，再算中括号，最后算大括号)；无括号按“先乘除，后加减”的顺序计算．
【示例】计算：(1)×(－5)÷(－)×5；
(2)－[(－3)×÷|－
|]÷(－)．
思路分析：(1)题将乘除统一为乘法后用结合律运算．
(2)题是一道含绝对值的加、减、乘、除混合运算题，应先算括号里面的．
解：(1)原式＝×(－5)×(－5)×5＝25；
(2)原式＝－[(－)××
]×(－5)
＝－(－)×(－5)＝－4＝－3.
六、分数符号的化简
对于一个分数，若分子、分母、分数这三者的符号中同时改变其中两个的符号，分数的值不变．
在进行分数符号的化简时，关键是要确定分子、分母、分数这三者中负号的个数．若负号是一个或三个，整个式子的值为负；若负号是两个，则整个式子的值为正．
提醒注意：(1)分数符号化简的依据是分数除法法则；
(2)谨防化简分数符号，导致分数的值发生变化．
【示例】化简(1)
；(2)－
；(3)－
.
思路分析：分数线有除号作用，可根据除法法则进行变形．
解：(1)＝(－2)÷(－3)＝2÷3＝.(同时改变了分子、分母的符号)
(2)－＝－[6÷(－7)]＝－(－
)＝.(同时改变了分母、分数本身的符号)
(3)－＝－[(－4)÷(－5)]＝－(4÷5)＝－.(同时改变了分子、分母的符号)
归纳整理
本节内容比较多，主要包括下列几个方面：一是有理数的乘法法则；二是有理数的乘法运算律；三是倒数的概念；四是有理数的除法法则；五是有理数的加、减、乘、除混合运算．有理数的乘法法则和有理数的除法法则是重点，确定积或商的符号是难点，进行有理数的乘、除法计算的关键是正确运用有理数的乘除法法则．
答案：①负 ②绝对值 ③积为1 ④0 ⑤倒数 ⑥负 ⑦绝对值 ⑧因数 ⑨前两个数 ⑩这两个数 ⑪两个
一、有理数的乘法法则
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同0相乘，都得0.
(1)两个有理数相乘，先确定积的符号，再确定积的绝对值；
(2)积的符号由两个因数的符号决定，当两个因数的符号相同时积为正；当两个因数的符号相反时，积是负数；
(3)积的绝对值由两个因数的绝对值相乘而得．
多个有理数相乘，可以把它们按顺序依次相乘；也可先确定积的符号，再把因数的绝对值相乘，得积的绝对值；几个不是0的数相乘，积的符号由负因数个数决定，当负因数的个数为偶数个时积为正，负因数的个数为奇数个时积为负．
提醒注意：(1)在进行小数和带分数的乘法运算时，要先把小数化成分数，带分数化成假分数，这样便于约分；
(2)有理数乘法与有理数加法的运算步骤基本相同：第一步确定积的符号；第二步确定绝对值．
【示例】计算：
(1)(－3
)×(－4)；(2)6×(－)；(3)15×(－
)×(－1)×(－1.2)；(4)2 007×(－2 008)×0×2 009.思路分析：根据运算法则先确定积的符号，再由因数绝对值之积得积的绝对值．(1)为同号相乘；(2)为异号相乘；(3)负因数有奇数个；(4)有因数0.
解：(1)(－3
)×(－4)＝(－)×(－4)＝×4＝14.(2)6
×(－)＝×(－)＝－(×)＝－5.(3)15×(－
)×(－1)×(－1.2)＝－(15×××)＝－27.(4)2 007×(－2008)×0×2 009＝0.
二、倒数
乘积为1的两个数互为倒数．“互为倒数”说明倒数表示的是两个数之间的关系，如：－3和－
互为倒数，“－是倒数”的说法是错误的．0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数，a(a≠0)的倒数为；倒数的结果必须化为最简形式，使分母中不含小数和分数．提醒注意：(1)正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，也就是说两个互为倒数的有理数一定同号；在符号理解上不要与相反数相混淆．
(2)求分数的倒数，只要把这个分数的分子与分母颠倒位置，符号不变．
【示例】求下列各数的倒数．
(1)－3；(2)
；(3)－0.2；(4)－2.思路分析：整数a(a≠0)的倒数是
；分子、分母的位置颠倒后可得到原分数的倒数；求小数的倒数，可先把小数化成分数，再求它的倒数；求带分数的倒数可先把其化为假分数．解：(1)－3的倒数为－
；(2) 的倒数为；(3)因为－0.2＝－
，所以－0.2的倒数为－5；(4)因为－2
＝－，所以－2的倒数为－.三、有理数的乘法运算律
小学所学的乘法运算律在有理数范围内仍然成立．
(1)乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即ab＝ba.
(2)乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等，即(ab)c＝a(bc)．
(3)分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这两个数分别同这个数相乘，再把积相加，即a(b＋c)＝ab＋ac.
乘法的运算律与加法的运算律类似，适用于多个有理数相乘．在运用分配律时一个因数要与括号里的每一个数相乘，不能漏乘任何一项．
提醒注意：利用分配律进行乘法运算时，常常出错的是：漏乘括号中的某个数或几个数或弄错符号．
【示例】计算(－
＋－＋)×(－36)．思路分析：本题－36同四个数的和相乘，且这四个数的分母均为36的约数，因此用乘法分配律较简便．
解：原式＝(－
)×(－36)＋×(－36)＋(－)×(－36)＋×(－36)＝21＋(－27)＋30－10＝51－37＝14.四、有理数的除法法则
(1)一个数除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数；
(2)两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0除以任何一个不等于0的数，都得0.
将有理数的除法转化为乘法时，“÷”变成“×”，除数变成它的倒数，因此，乘法与除法可以统一成乘法，故乘法与除法是同一级运算．
提醒注意：运用有理数除法法则进行计算要灵活，一般在不能整除的情况下，运用上面的法则(1)，如：
÷(－1)＝÷(－)＝×(－)＝－；一般在能整除的情况下，运用上面的法则(2)，如：(－8)÷(－2)＝4.【示例】计算：(1)(－1
)÷(－)；(2)(－35)÷7；(3)[(＋
)－(－)－(＋)]÷(－)．思路分析：(1)题中两数不能整除，运用法则(1)较易；(2)题中两数能整除，运用法则(2)先确定商的符号，再将绝对值相除作为商的绝对值；(3)题除法转化为乘法，用分配律运算较易．
解：(1)原式＝(－
)×(－)＝(×)＝；(2)原式＝－(35÷7)＝－5；
(3)原式＝(
＋－)×(－105)＝
×(－105)＋×(－105)－×(－105)＝－15－35＋21
＝－29.
五、有理数的乘除混合运算
有理数的乘除混合运算通常先统一为乘法，变成多个有理数相乘，计算时应注意：
(1)乘法与除法是同一级计算，应按从左到右的顺序运算；
(2)结果的符号由算式中负数的个数决定，负数的个数是奇数时结果为负，负数的个数是偶数时结果为正；
(3)乘、除统一为乘法后，应先约分再相乘．
做有理数的四则混合计算题时，应遵循有括号先算括号(先算小括号，再算中括号，最后算大括号)；无括号按“先乘除，后加减”的顺序计算．
【示例】计算：(1)
×(－5)÷(－)×5；(2)
－[(－3)×÷|－|]÷(－)．思路分析：(1)题将乘除统一为乘法后用结合律运算．
(2)题是一道含绝对值的加、减、乘、除混合运算题，应先算括号里面的．
解：(1)原式＝
×(－5)×(－5)×5＝25；(2)原式＝
－[(－)××]×(－5)＝
－(－)×(－5)＝－4＝－3.六、分数符号的化简
对于一个分数，若分子、分母、分数这三者的符号中同时改变其中两个的符号，分数的值不变．
在进行分数符号的化简时，关键是要确定分子、分母、分数这三者中负号的个数．若负号是一个或三个，整个式子的值为负；若负号是两个，则整个式子的值为正．
提醒注意：(1)分数符号化简的依据是分数除法法则；
(2)谨防化简分数符号，导致分数的值发生变化．
【示例】化简(1)
；(2)－；(3)－.思路分析：分数线有除号作用，可根据除法法则进行变形．
解：(1)
＝(－2)÷(－3)＝2÷3＝.(同时改变了分子、分母的符号)(2)－
＝－[6÷(－7)]＝－(－)＝.(同时改变了分母、分数本身的符号)(3)－
＝－[(－4)÷(－5)]＝－(4÷5)＝－.(同时改变了分子、分母的符号)归纳整理
本节内容比较多，主要包括下列几个方面：一是有理数的乘法法则；二是有理数的乘法运算律；三是倒数的概念；四是有理数的除法法则；五是有理数的加、减、乘、除混合运算．有理数的乘法法则和有理数的除法法则是重点，确定积或商的符号是难点，进行有理数的乘、除法计算的关键是正确运用有理数的乘除法法则．
答案：①负 ②绝对值 ③积为1 ④0 ⑤倒数 ⑥负 ⑦绝对值 ⑧因数 ⑨前两个数 ⑩这两个数 ⑪两个
)的结果是( )
.
.
×(－11)；
)＋2.41×(－
)×(－2
)×(＋3
)×(＋
)÷(－
)÷(－
)．
”后用乘法分配律较简便．(2)题式子的意义为乘积之和，三个积中有相同的因数“－
”，因此宜逆用乘法分配律．(3)题将乘、除法统一为乘法后可恰当地运用交换律和结合律．
＝－119
.
)×(－
)×(－
)
×1×(－1)＝
－8×
)＋(－
)÷(－
)．
)＋(－
)＝1÷（
－
)＋
)＋
)＋
＋
＝－
. 
)×(－2)×(－4)×(－5
)×(－25)×5；
)÷(
＋
×25×5)＝－3 000.
－
＋
－
)
＝(－
－
－1)(
－1)(
－1)…(
－1)(
－1)．
，
，
，…，
，
，
)
.
