细品教材
一、有理数的乘法法则
两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘;任何数同0相乘,都得0.
(1)两个有理数相乘,先确定积的符号,再确定积的绝对值;
(2)积的符号由两个因数的符号决定,当两个因数的符号相同时积为正;当两个因数的符号相反时,积是负数;
(3)积的绝对值由两个因数的绝对值相乘而得.
多个有理数相乘,可以把它们按顺序依次相乘;也可先确定积的符号,再把因数的绝对值相乘,得积的绝对值;几个不是0的数相乘,积的符号由负因数个数决定,当负因数的个数为偶数个时积为正,负因数的个数为奇数个时积为负.
提醒注意:(1)在进行小数和带分数的乘法运算时,要先把小数化成分数,带分数化成假分数,这样便于约分;
(2)有理数乘法与有理数加法的运算步骤基本相同:第一步确定积的符号;第二步确定绝对值.
【示例】计算:
(1)(-3
)×(-4);(2)6
×(-
);
(3)15×(-
)×(-1
)×(-1.2);(4)2 007×(-2 008)×0×2 009.
思路分析:根据运算法则先确定积的符号,再由因数绝对值之积得积的绝对值.(1)为同号相乘;(2)为异号相乘;(3)负因数有奇数个;(4)有因数0.
解:(1)(-3
)×(-4)=(-
)×(-4)=
×4=14.
(2)6
×(-
)=
×(-
)=-(
×
)=-5.
(3)15×(-
)×(-1
)×(-1.2)=-(15×
×
×
)=-27.
(4)2 007×(-2008)×0×2 009=0.
二、倒数
乘积为1的两个数互为倒数.“互为倒数”说明倒数表示的是两个数之间的关系,如:-3和-
互为倒数,“-
是倒数”的说法是错误的.0和任何数相乘都不等于1,因此0没有倒数,a(a≠0)的倒数为
;倒数的结果必须化为最简形式,使分母中不含小数和分数.
提醒注意:(1)正数的倒数是正数,负数的倒数是负数,也就是说两个互为倒数的有理数一定同号;在符号理解上不要与相反数相混淆.
(2)求分数的倒数,只要把这个分数的分子与分母颠倒位置,符号不变.
【示例】求下列各数的倒数.
(1)-3;(2)
;(3)-0.2;(4)-2
.
思路分析:整数a(a≠0)的倒数是
;分子、分母的位置颠倒后可得到原分数的倒数;求小数的倒数,可先把小数化成分数,再求它的倒数;求带分数的倒数可先把其化为假分数.
解:(1)-3的倒数为-
;(2)
的倒数为
;
(3)因为-0.2=-
,所以-0.2的倒数为-5;
(4)因为-2
=-
,所以-2
的倒数为-
.
三、有理数的乘法运算律
小学所学的乘法运算律在有理数范围内仍然成立.
(1)乘法交换律:两个数相乘,交换因数的位置,积相等,即ab=ba.
(2)乘法结合律:三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积相等,即(ab)c=a(bc).
(3)分配律:一个数同两个数的和相乘,等于把这两个数分别同这个数相乘,再把积相加,即a(b+c)=ab+ac.
乘法的运算律与加法的运算律类似,适用于多个有理数相乘.在运用分配律时一个因数要与括号里的每一个数相乘,不能漏乘任何一项.
提醒注意:利用分配律进行乘法运算时,常常出错的是:漏乘括号中的某个数或几个数或弄错符号.
【示例】计算(-
+
-
+
)×(-36).
思路分析:本题-36同四个数的和相乘,且这四个数的分母均为36的约数,因此用乘法分配律较简便.
解:原式=(-
)×(-36)+
×(-36)+(-
)×(-36)+
×(-36)=21+(-27)+30-10=51-37=14.
四、有理数的除法法则
(1)一个数除以一个不等于0的数,等于乘以这个数的倒数;
(2)两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除,0除以任何一个不等于0的数,都得0.
将有理数的除法转化为乘法时,“÷”变成“×”,除数变成它的倒数,因此,乘法与除法可以统一成乘法,故乘法与除法是同一级运算.
提醒注意:运用有理数除法法则进行计算要灵活,一般在不能整除的情况下,运用上面的法则(1),如:
÷(-1
)=
÷(-
)=
×(-
)=-
;一般在能整除的情况下,运用上面的法则(2),如:(-8)÷(-2)=4.
【示例】计算:(1)(-1
)÷(-
);(2)(-35)÷7;
(3)[(+
)-(-
)-(+
)]÷(-
).
思路分析:(1)题中两数不能整除,运用法则(1)较易;(2)题中两数能整除,运用法则(2)先确定商的符号,再将绝对值相除作为商的绝对值;(3)题除法转化为乘法,用分配律运算较易.
解:(1)原式=(-
)×(-
)=(
×
)=
;
(2)原式=-(35÷7)=-5;
(3)原式=(
+
-
)×(-105)
=
×(-105)+
×(-105)-
×(-105)
=-15-35+21
=-29.
五、有理数的乘除混合运算
有理数的乘除混合运算通常先统一为乘法,变成多个有理数相乘,计算时应注意:
(1)乘法与除法是同一级计算,应按从左到右的顺序运算;
(2)结果的符号由算式中负数的个数决定,负数的个数是奇数时结果为负,负数的个数是偶数时结果为正;
(3)乘、除统一为乘法后,应先约分再相乘.
做有理数的四则混合计算题时,应遵循有括号先算括号(先算小括号,再算中括号,最后算大括号);无括号按“先乘除,后加减”的顺序计算.
【示例】计算:(1)
×(-5)÷(-
)×5;
(2)
-[(-3
)×
÷|-
|]÷(-
).
思路分析:(1)题将乘除统一为乘法后用结合律运算.
(2)题是一道含绝对值的加、减、乘、除混合运算题,应先算括号里面的.
解:(1)原式=
×(-5)×(-5)×5=25;
(2)原式=
-[(-
)×
×
]×(-5)
=
-(-
)×(-5)=
-4=-3
.
六、分数符号的化简
对于一个分数,若分子、分母、分数这三者的符号中同时改变其中两个的符号,分数的值不变.
在进行分数符号的化简时,关键是要确定分子、分母、分数这三者中负号的个数.若负号是一个或三个,整个式子的值为负;若负号是两个,则整个式子的值为正.
提醒注意:(1)分数符号化简的依据是分数除法法则;
(2)谨防化简分数符号,导致分数的值发生变化.
【示例】化简(1)
;(2)-
;(3)-
.
思路分析:分数线有除号作用,可根据除法法则进行变形.
解:(1)
=(-2)÷(-3)=2÷3=
.(同时改变了分子、分母的符号)
(2)-
=-[6÷(-7)]=-(-
)=
.(同时改变了分母、分数本身的符号)
(3)-
=-[(-4)÷(-5)]=-(4÷5)=-
.(同时改变了分子、分母的符号)
归纳整理
本节内容比较多,主要包括下列几个方面:一是有理数的乘法法则;二是有理数的乘法运算律;三是倒数的概念;四是有理数的除法法则;五是有理数的加、减、乘、除混合运算.有理数的乘法法则和有理数的除法法则是重点,确定积或商的符号是难点,进行有理数的乘、除法计算的关键是正确运用有理数的乘除法法则.

答案:①负 ②绝对值 ③积为1 ④0 ⑤倒数 ⑥负 ⑦绝对值 ⑧因数 ⑨前两个数 ⑩这两个数 ⑪两个
一、有理数的乘法法则
两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘;任何数同0相乘,都得0.
(1)两个有理数相乘,先确定积的符号,再确定积的绝对值;
(2)积的符号由两个因数的符号决定,当两个因数的符号相同时积为正;当两个因数的符号相反时,积是负数;
(3)积的绝对值由两个因数的绝对值相乘而得.
多个有理数相乘,可以把它们按顺序依次相乘;也可先确定积的符号,再把因数的绝对值相乘,得积的绝对值;几个不是0的数相乘,积的符号由负因数个数决定,当负因数的个数为偶数个时积为正,负因数的个数为奇数个时积为负.
提醒注意:(1)在进行小数和带分数的乘法运算时,要先把小数化成分数,带分数化成假分数,这样便于约分;
(2)有理数乘法与有理数加法的运算步骤基本相同:第一步确定积的符号;第二步确定绝对值.
【示例】计算:
(1)(-3



(3)15×(-


思路分析:根据运算法则先确定积的符号,再由因数绝对值之积得积的绝对值.(1)为同号相乘;(2)为异号相乘;(3)负因数有奇数个;(4)有因数0.
解:(1)(-3



(2)6






(3)15×(-





(4)2 007×(-2008)×0×2 009=0.
二、倒数
乘积为1的两个数互为倒数.“互为倒数”说明倒数表示的是两个数之间的关系,如:-3和-



提醒注意:(1)正数的倒数是正数,负数的倒数是负数,也就是说两个互为倒数的有理数一定同号;在符号理解上不要与相反数相混淆.
(2)求分数的倒数,只要把这个分数的分子与分母颠倒位置,符号不变.
【示例】求下列各数的倒数.
(1)-3;(2)


思路分析:整数a(a≠0)的倒数是

解:(1)-3的倒数为-



(3)因为-0.2=-

(4)因为-2




三、有理数的乘法运算律
小学所学的乘法运算律在有理数范围内仍然成立.
(1)乘法交换律:两个数相乘,交换因数的位置,积相等,即ab=ba.
(2)乘法结合律:三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积相等,即(ab)c=a(bc).
(3)分配律:一个数同两个数的和相乘,等于把这两个数分别同这个数相乘,再把积相加,即a(b+c)=ab+ac.
乘法的运算律与加法的运算律类似,适用于多个有理数相乘.在运用分配律时一个因数要与括号里的每一个数相乘,不能漏乘任何一项.
提醒注意:利用分配律进行乘法运算时,常常出错的是:漏乘括号中的某个数或几个数或弄错符号.
【示例】计算(-




思路分析:本题-36同四个数的和相乘,且这四个数的分母均为36的约数,因此用乘法分配律较简便.
解:原式=(-




四、有理数的除法法则
(1)一个数除以一个不等于0的数,等于乘以这个数的倒数;
(2)两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除,0除以任何一个不等于0的数,都得0.
将有理数的除法转化为乘法时,“÷”变成“×”,除数变成它的倒数,因此,乘法与除法可以统一成乘法,故乘法与除法是同一级运算.
提醒注意:运用有理数除法法则进行计算要灵活,一般在不能整除的情况下,运用上面的法则(1),如:







【示例】计算:(1)(-1


(3)[(+




思路分析:(1)题中两数不能整除,运用法则(1)较易;(2)题中两数能整除,运用法则(2)先确定商的符号,再将绝对值相除作为商的绝对值;(3)题除法转化为乘法,用分配律运算较易.
解:(1)原式=(-





(2)原式=-(35÷7)=-5;
(3)原式=(



=



=-15-35+21
=-29.
五、有理数的乘除混合运算
有理数的乘除混合运算通常先统一为乘法,变成多个有理数相乘,计算时应注意:
(1)乘法与除法是同一级计算,应按从左到右的顺序运算;
(2)结果的符号由算式中负数的个数决定,负数的个数是奇数时结果为负,负数的个数是偶数时结果为正;
(3)乘、除统一为乘法后,应先约分再相乘.
做有理数的四则混合计算题时,应遵循有括号先算括号(先算小括号,再算中括号,最后算大括号);无括号按“先乘除,后加减”的顺序计算.
【示例】计算:(1)


(2)





思路分析:(1)题将乘除统一为乘法后用结合律运算.
(2)题是一道含绝对值的加、减、乘、除混合运算题,应先算括号里面的.
解:(1)原式=

(2)原式=




=




六、分数符号的化简
对于一个分数,若分子、分母、分数这三者的符号中同时改变其中两个的符号,分数的值不变.
在进行分数符号的化简时,关键是要确定分子、分母、分数这三者中负号的个数.若负号是一个或三个,整个式子的值为负;若负号是两个,则整个式子的值为正.
提醒注意:(1)分数符号化简的依据是分数除法法则;
(2)谨防化简分数符号,导致分数的值发生变化.
【示例】化简(1)



思路分析:分数线有除号作用,可根据除法法则进行变形.
解:(1)


(2)-



(3)-


归纳整理
本节内容比较多,主要包括下列几个方面:一是有理数的乘法法则;二是有理数的乘法运算律;三是倒数的概念;四是有理数的除法法则;五是有理数的加、减、乘、除混合运算.有理数的乘法法则和有理数的除法法则是重点,确定积或商的符号是难点,进行有理数的乘、除法计算的关键是正确运用有理数的乘除法法则.

答案:①负 ②绝对值 ③积为1 ④0 ⑤倒数 ⑥负 ⑦绝对值 ⑧因数 ⑨前两个数 ⑩这两个数 ⑪两个