学习理解
数学问题1：
如图,在△ABC中,AB=AC,DE=EC,DH∥BC,EF∥AB,HE的延长线与BC的延长线相交于点M,点G在BC上,且∠1=∠2,不添加辅助线,解答下列问题：
(1)找出一个等腰三角形；(不包括△ABC)
(2)找出三对相似三角形；(不包括全等三角形)
(3)找出两对全等三角形,并选出一对进行证明.
分析：对于(1),只需找同一个三角形中相等的角或相等的边即可；
对于(2),由DH∥BC,EF∥AB,可推得△AHD～△ABC,△EFC～△ABC,从而有△AHD～△EFC(其他相似三角形略)；
对于(3),由DE=EC,DH∥BC,可推得△DHE≌△CME,由等腰三角形ABC以及∠1=∠2,EF∥AB,可推知△FGE≌△CME等(其他全等三角形略).
答案：(1)△AHD,△EFC,△EGM(写出其中一个即可).
(2)△AHD～△ABC,△EFC～△ABC,△EFM～△HBM,
△AHD～△EFC,△BMH～△CGE(写出其中三对即可).
(3)△DHE≌△FGE,△DHE≌△CME,△FGE≌△CME,△EGC≌△EMF(写出其中两对即可).
选△DHE≌△CME.
∵DH∥BC,
∴∠2=∠M.
∵∠DEH=∠CEM,DE=EC,
∴△DHE≌△CME.
数学问题2：
已知：如图,以△ABC的边AB为直径的⊙O交边AC于点D,且过点D的切线DE平分边BC.
(1)BC与⊙O是否相切？请说明理由；
(2)当△ABC满足什么条件时,以点O,B,E,D为顶点的四边形是平行四边形？并说明理由.
分析：进行逆向思维：若四边形OBED是平行四边形,则应有DE=OB,BE=OD,由(1)知OE是△ABC的中位线,并且∠EBO=90°,所以OB=
AB,BE=BC,要使四边形OBED是平行四边形,则AB=BC,从而可得△ABC为等腰直角三角形.
答案：(1)BC与⊙O相切.
理由：连结OD,OE,
因为DE切⊙O于D,
所以∠EDO=90°.
因为OA=OB,BC=CE,所以OE是△ABC的中位线.
所以∠CAB=∠EOB.
因为∠DOB=2∠DAB,
所以∠DOE=∠EOB.
又因为OD=OB,OE为公共边,
所以△EDO≌△EBO,
所以∠EDO=∠EBO=90°,即AB⊥BC,
所以BC与⊙O相切.
(2)当△ABC为等腰直角三角形时,四边形是平行四边形.
理由：因为△ABC是等腰直角三角形,OE是△ABC的中位线,
所以OB=BE.
因为DE=BE,OD=OB,
所以DE=OB,OD=BE.
所以四边形OBED是平行四边形.
理解结论：
1.基本结论
探索性问题是一种具有开放性或发散性的问题,此类题目的条件或结论不完备.要求解答者自己去探索,结合已有条件,进行观察、分析、比较和概括.它有利于培养探索、分析、归纳、判断、讨论与证明等方面的能力.
探索性问题一般可分为：条件开放型,结论开放型,存在判断型,规律探究型等等.每一种类型其求解策略又有所不同.因此,我们在求解时就必须首先要明辨它是哪一种类型的探索问题,然后再根据所属类型制定解题策略.
2.提示注意
A.条件开放型
这类问题的基本特征是：针对一个结论,条件未知需要探索,或条件增删需要确定,或条件正误需要判断.
解决这类问题的基本策略是：执果索因,先寻找结论成立的必要条件,再通过检验或认证找到结论成立的充分条件.在“执果索因”的过程中,常常会犯的一个错误是不考虑推理过程的可逆与否,误将必要条件当作充分条件,应引起注意.
B.结论开放型
这类问题的基本特征是：有条件而无结论.
解决这类问题的策略是：先探索结论而后去论证结论.在探索过程中常可先从特殊情形入手,通过观察、分析、归纳、判断来作一番猜测,得出结论,再就一般情形去认证结论.
C.存在判断型
这类问题的基本特征是：要判断在某些确定条件下的某一结论是否成立.
解决这类问题的基本策略是：通常假定题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分的结论,然后在这个前提下进行逻辑推理,若由此导出矛盾,则否定假设；否则,给出肯定结论.其中反证法在解题中起着重要的作用.
D.规律探究型
这类问题的基本特征是：未给出问题的结论,需要由特殊情况入手,猜想、证明一般结论.
解决这类问题的基本策略是：通常需要研究简化形式但保持本质的特殊情形,从条件出发,通过观察、试验、归纳、类比、猜测、联想来探路,解题过程中创新成分比较高.
E.实验操作型
这类问题的基本特征是：给出一定的条件要求设计一种方案.
解决这类问题的基本策略是：需要借助逆向思考动手实踐.
数学问题1：
如图,在△ABC中,AB=AC,DE=EC,DH∥BC,EF∥AB,HE的延长线与BC的延长线相交于点M,点G在BC上,且∠1=∠2,不添加辅助线,解答下列问题：
(1)找出一个等腰三角形；(不包括△ABC)
(2)找出三对相似三角形；(不包括全等三角形)
(3)找出两对全等三角形,并选出一对进行证明.
分析：对于(1),只需找同一个三角形中相等的角或相等的边即可；
对于(2),由DH∥BC,EF∥AB,可推得△AHD～△ABC,△EFC～△ABC,从而有△AHD～△EFC(其他相似三角形略)；
对于(3),由DE=EC,DH∥BC,可推得△DHE≌△CME,由等腰三角形ABC以及∠1=∠2,EF∥AB,可推知△FGE≌△CME等(其他全等三角形略).
答案：(1)△AHD,△EFC,△EGM(写出其中一个即可).
(2)△AHD～△ABC,△EFC～△ABC,△EFM～△HBM,
△AHD～△EFC,△BMH～△CGE(写出其中三对即可).
(3)△DHE≌△FGE,△DHE≌△CME,△FGE≌△CME,△EGC≌△EMF(写出其中两对即可).
选△DHE≌△CME.
∵DH∥BC,
∴∠2=∠M.
∵∠DEH=∠CEM,DE=EC,
∴△DHE≌△CME.
数学问题2：
已知：如图,以△ABC的边AB为直径的⊙O交边AC于点D,且过点D的切线DE平分边BC.
(1)BC与⊙O是否相切？请说明理由；
(2)当△ABC满足什么条件时,以点O,B,E,D为顶点的四边形是平行四边形？并说明理由.
分析：进行逆向思维：若四边形OBED是平行四边形,则应有DE=OB,BE=OD,由(1)知OE是△ABC的中位线,并且∠EBO=90°,所以OB=
AB,BE=BC,要使四边形OBED是平行四边形,则AB=BC,从而可得△ABC为等腰直角三角形.答案：(1)BC与⊙O相切.
理由：连结OD,OE,
因为DE切⊙O于D,
所以∠EDO=90°.
因为OA=OB,BC=CE,所以OE是△ABC的中位线.
所以∠CAB=∠EOB.
因为∠DOB=2∠DAB,
所以∠DOE=∠EOB.
又因为OD=OB,OE为公共边,
所以△EDO≌△EBO,
所以∠EDO=∠EBO=90°,即AB⊥BC,
所以BC与⊙O相切.
(2)当△ABC为等腰直角三角形时,四边形是平行四边形.
理由：因为△ABC是等腰直角三角形,OE是△ABC的中位线,
所以OB=BE.
因为DE=BE,OD=OB,
所以DE=OB,OD=BE.
所以四边形OBED是平行四边形.
理解结论：
1.基本结论
探索性问题是一种具有开放性或发散性的问题,此类题目的条件或结论不完备.要求解答者自己去探索,结合已有条件,进行观察、分析、比较和概括.它有利于培养探索、分析、归纳、判断、讨论与证明等方面的能力.
探索性问题一般可分为：条件开放型,结论开放型,存在判断型,规律探究型等等.每一种类型其求解策略又有所不同.因此,我们在求解时就必须首先要明辨它是哪一种类型的探索问题,然后再根据所属类型制定解题策略.
2.提示注意
A.条件开放型
这类问题的基本特征是：针对一个结论,条件未知需要探索,或条件增删需要确定,或条件正误需要判断.
解决这类问题的基本策略是：执果索因,先寻找结论成立的必要条件,再通过检验或认证找到结论成立的充分条件.在“执果索因”的过程中,常常会犯的一个错误是不考虑推理过程的可逆与否,误将必要条件当作充分条件,应引起注意.
B.结论开放型
这类问题的基本特征是：有条件而无结论.
解决这类问题的策略是：先探索结论而后去论证结论.在探索过程中常可先从特殊情形入手,通过观察、分析、归纳、判断来作一番猜测,得出结论,再就一般情形去认证结论.
C.存在判断型
这类问题的基本特征是：要判断在某些确定条件下的某一结论是否成立.
解决这类问题的基本策略是：通常假定题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分的结论,然后在这个前提下进行逻辑推理,若由此导出矛盾,则否定假设；否则,给出肯定结论.其中反证法在解题中起着重要的作用.
D.规律探究型
这类问题的基本特征是：未给出问题的结论,需要由特殊情况入手,猜想、证明一般结论.
解决这类问题的基本策略是：通常需要研究简化形式但保持本质的特殊情形,从条件出发,通过观察、试验、归纳、类比、猜测、联想来探路,解题过程中创新成分比较高.
E.实验操作型
这类问题的基本特征是：给出一定的条件要求设计一种方案.
解决这类问题的基本策略是：需要借助逆向思考动手实踐.
