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学习理解
数学问题1:
如图,在△ABC中,AB=AC,DE=EC,DH∥BC,EF∥AB,HE的延长线与BC的延长线相交于点M,点G在BC上,且∠1=∠2,不添加辅助线,解答下列问题:
(1)找出一个等腰三角形;(不包括△ABC)
(2)找出三对相似三角形;(不包括全等三角形)
(3)找出两对全等三角形,并选出一对进行证明.

分析:对于(1),只需找同一个三角形中相等的角或相等的边即可;
对于(2),由DH∥BC,EF∥AB,可推得△AHD~△ABC,△EFC~△ABC,从而有△AHD~△EFC(其他相似三角形略);
对于(3),由DE=EC,DH∥BC,可推得△DHE≌△CME,由等腰三角形ABC以及∠1=∠2,EF∥AB,可推知△FGE≌△CME等(其他全等三角形略).
答案:(1)△AHD,△EFC,△EGM(写出其中一个即可).
(2)△AHD~△ABC,△EFC~△ABC,△EFM~△HBM,
△AHD~△EFC,△BMH~△CGE(写出其中三对即可).
(3)△DHE≌△FGE,△DHE≌△CME,△FGE≌△CME,△EGC≌△EMF(写出其中两对即可).
选△DHE≌△CME.
∵DH∥BC,
∴∠2=∠M.
∵∠DEH=∠CEM,DE=EC,
∴△DHE≌△CME.
数学问题2:
已知:如图,以△ABC的边AB为直径的⊙O交边AC于点D,且过点D的切线DE平分边BC.
(1)BC与⊙O是否相切?请说明理由;
(2)当△ABC满足什么条件时,以点O,B,E,D为顶点的四边形是平行四边形?并说明理由.

分析:进行逆向思维:若四边形OBED是平行四边形,则应有DE=OB,BE=OD,由(1)知OE是△ABC的中位线,并且∠EBO=90°,所以OB=AB,BE=BC,要使四边形OBED是平行四边形,则AB=BC,从而可得△ABC为等腰直角三角形.
答案:(1)BC与⊙O相切.
理由:连结OD,OE,

因为DE切⊙O于D,
所以∠EDO=90°.
因为OA=OB,BC=CE,所以OE是△ABC的中位线.
所以∠CAB=∠EOB.
因为∠DOB=2∠DAB,
所以∠DOE=∠EOB.
又因为OD=OB,OE为公共边,
所以△EDO≌△EBO,
所以∠EDO=∠EBO=90°,即AB⊥BC,
所以BC与⊙O相切.
(2)当△ABC为等腰直角三角形时,四边形是平行四边形.
理由:因为△ABC是等腰直角三角形,OE是△ABC的中位线,
所以OB=BE.
因为DE=BE,OD=OB,
所以DE=OB,OD=BE.
所以四边形OBED是平行四边形.
理解结论:
1.基本结论
探索性问题是一种具有开放性或发散性的问题,此类题目的条件或结论不完备.要求解答者自己去探索,结合已有条件,进行观察、分析、比较和概括.它有利于培养探索、分析、归纳、判断、讨论与证明等方面的能力.
探索性问题一般可分为:条件开放型,结论开放型,存在判断型,规律探究型等等.每一种类型其求解策略又有所不同.因此,我们在求解时就必须首先要明辨它是哪一种类型的探索问题,然后再根据所属类型制定解题策略.
2.提示注意
A.条件开放型
这类问题的基本特征是:针对一个结论,条件未知需要探索,或条件增删需要确定,或条件正误需要判断.
解决这类问题的基本策略是:执果索因,先寻找结论成立的必要条件,再通过检验或认证找到结论成立的充分条件.在“执果索因”的过程中,常常会犯的一个错误是不考虑推理过程的可逆与否,误将必要条件当作充分条件,应引起注意.
B.结论开放型
这类问题的基本特征是:有条件而无结论.
解决这类问题的策略是:先探索结论而后去论证结论.在探索过程中常可先从特殊情形入手,通过观察、分析、归纳、判断来作一番猜测,得出结论,再就一般情形去认证结论.
C.存在判断型
这类问题的基本特征是:要判断在某些确定条件下的某一结论是否成立.
解决这类问题的基本策略是:通常假定题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分的结论,然后在这个前提下进行逻辑推理,若由此导出矛盾,则否定假设;否则,给出肯定结论.其中反证法在解题中起着重要的作用.
D.规律探究型
这类问题的基本特征是:未给出问题的结论,需要由特殊情况入手,猜想、证明一般结论.
解决这类问题的基本策略是:通常需要研究简化形式但保持本质的特殊情形,从条件出发,通过观察、试验、归纳、类比、猜测、联想来探路,解题过程中创新成分比较高.
E.实验操作型
这类问题的基本特征是:给出一定的条件要求设计一种方案.
解决这类问题的基本策略是:需要借助逆向思考动手实踐.
典型例题
例1.如图1,OP是∠MON的平分线,请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形.请你参考这个做全等三角形的方法,解答下列问题.
(1)如图2,在△ABC中∠ACB是直角,∠B=60°,AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线,AD、CE相交于点F,求FE与FD之间的数量关系;
(2)如图3,在△ABC中,如果∠ACB不是直角,而(1)中的其他条件不变,请问,你在(1)中所的结论是否仍然成立?若成立,请证明:若不成立,请说明理由.

在有两角相等的前提下,构造全等三角形只需截取一对对应相等的边即可,利用这种思路可在图2中截取AG=AE得全等三角形,图3中虽然二个角发生变化,但∠B的大小未变,故结论不会改变.

(1)FE与FD之间的数量关系为FE=FD.
(2)(1)中的结论仍然成立.
证明:在AC上截取AG=AE,连结FG,如图4.

∵∠1=∠2,AF为公共边,可证△AEF≌△AGF.
∴∠AFE=∠AFG,FE=FG.
由∠B=60°,AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线,
可得∠2+∠3=60°,
∴∠AFE=∠CFD=∠AFG=60°,
∴∠CFG=60°,由∠3=∠4及FC为公共边,可得△CFG≌△CFD,
∴FG=FD,
∴FE=FD.
说明:此题也可由“角平分线上的点到角两边的距离相等”来作出辅助线进行证明.

 
例2.如图,在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且DF=BE.
(1)求证:CE=CF;
(2)在图中,若G在AD上,且∠GCE=45°,则GE=BE+GD成立吗?为什么?

综合运用正方形的性质、三角形全等的判定方法,全等三角形的性质解题.
由正方形的性质知△CBE和△CDF中,有两边和它们的夹角相等,所以△CBE≌△CDF;再由△CBE≌△CDF和已知条件可推出△ECG≌△FCG,进而证明GE=DF+GD=BE+GD.

(1)证明:在正方形ABCD中,
∵BC=CD,∠B=∠CDF,BE=DF,
∴△CBE≌△CDF.
∴CE=CF.
(2)解:GE=BE+GD成立.
∵△CBE≌△CDF,
∴∠BCE=∠DCF,
∴∠ECD+∠ECB=∠ECD+∠FCD,
即∠ECF=∠BCD=90°.
又∠GCE=45°,
∴∠GCF=∠GCE=45°.
∵CE=CF,∠GCF=∠GCE,GC=GC,
∴△ECG≌△FCG,
∴EG=GF,
∴GE=DF+GD=BE+GD.