数理天地 > 由三视图描述几何体

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学习理解
知识点1:根据三视图推断几何体
理解过程:
数学情景:
一位美术老师在课堂上进行立体模型素描教学,上课时他没有先展示立体模型,而是先画出了这个几何体的三视图如下图.

你知道该三视图表示的立体图形是什么呢?
探索研究:
1.由主视图可知,该立体图形的下面部分是一个柱体,上面是一个椎体;
2.由左视图可知,该立体图形的下面部分也是一个柱体,上面也是一个椎体;
3.由俯视图可知,该立体图形的下面部分是一个圆柱体,上面也是一个圆椎体;
归纳发现:
该三视图表示的立体图形如图,它是下面是一个圆柱,上面是一个圆锥的几何体.

提示注意:
A.根据三视图描述一个几何体,一般先根据三视图想象从各个方向看到的几何体形状,然后综合起来确定几何体(或实物原型)的形状.
B.应根据三个视图“长对正、高平齐、宽相等”的关系,确定几何体的大小以及轮廓线的位置.

知识点2:由部分视图推断几何体
理解过程:
问题情境:
某同学用若干个小正方体,搭一个几何体,它的主视图和俯视图如图所示.

1.这样的几何体唯一吗?
2.它最少需要多少个小立方块?最多需要多少个小立方块?
探索研究:
1.可以根据主视图,在俯视图上的每一个小正方形上标出每一个小正方形所在处可能摆放小立方体的数目,再把这些数按照所给要求相加,从而计算出搭成几何体所需立方体的个数.
2.具体方法如下:
第一步:根据主视图数出每列中的小正方形个数,在俯视图对应的列(从左到右的顺序)的第一行(从上到下的顺序)的每一个小正方形内填入相应的数字;
第二步:在俯视图对应的列的其它行的小正方形内填入不超过第一行且不低于1的数字;如下图:

第三步:若要求的是最多需要小立方体的个数,则应取俯视图中每一个小正方形上最大的数字(若相同,则任取一个),再把它们相加,即可得最多小立方体的个数;若要求的是最少需要小立方体的个数,则应取俯视图中每一个小正方形上最小的数字(若相同,则任取一个),再把它们相加,即可得最少小立方体的个数.
3.由主视图可知,小正方体个数最多的情况如下:
a=3,b=3,c=3,d=2,e=2,f=2,g=1.
正方体个数最少的情况如下(位置不唯一):
a=3,b=1,c=1,d=2,e=1,f=1,g=1.
结论:
这样的几何体不只一种,最少需要10个小立方块.即俯视图中的个数加上主视图中上两层的个数(7+3=10),最多需要16个小立方块,即对应列乘积之和(3×3+2×3+1×1=16).
理解结论:
1.基本概念
由视图确定最多和最少立方体的个数.可以根据主视图,在俯视图上的每一个小正方形上标出每一个小正方形所在处可能摆放小立方体的数目,再把这些数按照所给要求相加,从而计算出搭成几何体所需立方体的个数.
具体方法如下:
第一步:根据主视图数出每列中的小正方形个数,在俯视图对应的列(从左到右的顺序)的第一行(从上到下的顺序)的每一个小正方形内填入相应的数字;
第二步:在俯视图对应的列的其它行的小正方形内填入不超过第一行且不低于1的数字;
第三步:若要求的是最多需要小立方体的个数,则应取俯视图中每一个小正方形上最大的数字(若相同,则任取一个),再把它们相加,即可得最多小立方体的个数;若要求的是最少需要小立方体的个数,则应取俯视图中每一个小正方形上最小的数字(若相同,则任取一个),再把它们相加,即可得最少小立方体的个数.
提示注意
A.可以看出二视图,不能确定几何体的形状;
B.根据二视图可以分析由小正方体搭成的几何体中小正方体的个数.
C.由小正方体搭成的几何体,根据二视图求小正方体个数的最大值和最小值.
典型例题
例1.由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和俯视图如图所示.

(1)请你画出这个几何体的一种左视图;
(2)若组成这个几何体的小正方体的块数为n,请你写出n的所有可能值.
根据主视图和俯视图,先确定左视图的可能情况,然后再确定实物情况,得出n的可能值.

(1)左视图共有5种情况,只要画对其中之一便可.根据主视图和俯视图可综合判出简单几何体的可能情况(其中俯视图中的数字表示垂直方向小正方体的个数)如下图所示.




(2)由上面(1)的9种可能情况可知:n的所有可能值为:8,9,10,11.
说明:求搭成这样几何体的小立方体的个数的方法还很多,解答此类题目应注意运用分类思想。同学们在以后的学习中要多注意留心总结,争取找到最简洁的解题方案.

 
中考链接
【摘自2009江西省等学校招生考试试题】
1.(本小题3分)如图,分别是由若干个完全相同的小正方体组成的一个几何体的主视图和俯视图,则组成这个几何体的小正方体的个数是(  ).

A.2个或3个
B.3个或4个
C.4个或5个
D.5个或6个
由几何体的某几个三视图确定几何体的形状,要发挥空间想象力.先确定俯视图中每个小正方形位置上的正方体个数,然后确定答案。答案是C.

C

 
【摘自2009年安徽省芜湖市等学校招生考试试题】
2.(本小题4分))如图,上下底面为全等的正六边形礼盒,其正视图与侧视图均由矩形构成,正视图中大矩形边长如图所示,侧视图中包含两全等的矩形,如果用彩色胶带如图包扎礼盒,所需胶带长度至少为(  ).

A.320cm
B.395.24cm
C.431.76cm
D.480cm
本题考查几何体的三视图及正多边形的有关计算,解题时要根据视图中的数据计算几何体中的相关内容.

C

三视图
学科:数学 学段:初中
内容简介:介绍视图、主视图,俯视图,左视图的概念,详细分析物体的三视图。