数理天地 > 特殊平行四边形

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学习理解
知识点1:矩形的性质
如图,已知四边形和四边形都是矩形,且.
求证:垂直平分.

方法探究:
由已知条件→四边形是平行四边形→;
由已知条件→→.
由等腰三角形的“三线合一”→垂直平分.
证明:
∵四边形、都是矩形
∴,,
,
∴四边形是平行四边形。
∴。
∵,
∴
在和中
.
∴
∴,
∴垂直平分.
1.基本概念
A.矩形的性质:矩形的四个角都是直角.矩形的对角线相等.
B.矩形的判定:有三个角是直角的四边形是矩形;对角线相等的平行四边形是矩形。
C.直角三角形的性质:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
D.直角三角形的判定:如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半,这个三角形是直角三角形.
2.提示注意:
A.矩形具有平行四边形的所有性质.除此以外矩形的一条对角线分矩形为两个全等的直角三角形;两条对角线分矩形为四个等腰三角形.
B.矩形既是中心对称图形,也是轴对称图形,矩形有两条对称轴.
C.矩形的判定既可以在四边形的基础上进行,也可以在平行四边形的基础上进行.
D.由于矩形的一条对角线分矩形为两个等腰三角形;两条对角线分矩形为四个直角三角形.而与等腰三角形、直角三角形有关的计算是常见的或基本的题型,因此利用说理的方法解决与矩形有关的计算是本节不可忽视的内容.
 
知识点2:菱形性质的应用
如图,已知中,,,垂足为,平分交于,交于,过点作,垂足为,连结.
求证:四边形是菱形.

探究思路:
要证四边形是菱形,由已知条件平分,,,可证。所以,只须证四边形是平行四边形。由于证明平行四边形的方法很多,因此此题的证法也很多.
证明方法:
∵平分,,
∴
∵,
∴
∴,
∵,
∴
∵
∴
∴
∴
∵,
∴
∴四边形是平行四边形
∵
∴四边形是菱形.
1.基本概念
A.菱形的性质:菱形的四条边都相等.
菱形的对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角.
B.菱形的判定:对角线互相垂直的平行四边形是菱形;四边相等的四边形是菱形.
2.提示注意:
A.菱形具有平行四边形的所有性质.除此以外菱形的一条对角线分菱形为两个等腰三角形;两条对角线分菱形为四个直角三角形.
B.菱形的判定既可以在四边形的基础上进行,也可以在平行四边形的基础上进行.
C.菱形既是中心对称图形,也是轴对称图形,菱形有两条对称轴、正方形有两条对称轴.
D.由于菱形的一条对角线分菱形为等腰三角形、直角三角形.我们知道等腰三角形、直角三角形有关的计算是常见的或基本的题型,因此利用说理的方法解决与菱形有关的计算是本节内容的重点.
 
知识点3:正方形
如图,已知:在正方形中,、分别是、上的点,若有.
求:的度数.

探索研究:
在给出的条件中,这一条件比较分散.我们不妨把和平移到同一直线上.由正方形的性质可知,所以我们延长到,使,则可以知道,
∵.又可以证得
,
∴可知,
因此可求得的度数.
解题过程:
延长到,使,连结
∵正方形,
∴,

又∵
∴
∴
∵,
∴
∴

∵
∴.
1.基本概念
A.正方形的性质:正方形的四个角是直角,四条边都相等;正方形的对角线相等并且互相垂直平分;正方形的每条对角线平分一组对角.
B.正方形的判定:有一个角是直角的菱形是正方形,对角线相等的菱形是正方形.,对角线互相垂直的矩形是正方形.
2.提示注意:
A.正方形具有矩形、菱形的所有性质.除此以外正方形的一条对角线分正方形为两个等腰直角三角形;两条对角线分正方形为四个等腰直角三角形.
B.正方形的判定既可以在平行四边形的基础上进行,也可以在矩形、菱形的基础上进行.事实上,在平行四边形的基础上判定正方形也是最终转化为在矩形、菱形的基础上进行判定的.
C.正方形既是中心对称图形,也是轴对称图形,矩形有两条对称轴、菱形有两条对称轴、正方形有四条对称轴.
D.由于正方形的一条对角线分正方形为两个等腰三角形;两条对角线分正方形为四个直角三角形.而与等腰三角形、直角三角形有关的计算是常见的或基本的题型,因此利用说理的方法解决与正方形有关的计算不可忽视.
E.由于正方形的特殊性——“旋转对称”,所以解决相关正方形问题,可以借助图形的旋转解决.
典型例题
例1.如图,矩形中,延长至,使,为的中点.连结,.试说明.

因为为等腰底边的中点,如果连结,则.从而思路有两种:第一种,要说明,只须,转化为求.
第二种,如连结,交于,则,即为Rt的斜边的中点,故联想到连结,有,即.

连结.
因为,为的中点,
所以,
所以.
因为四边形为矩形,
所以,.
又因为为的中点,,
所以,
所以,
所以,
所以,
所以,
所以,
所以.
说明:解法一体现了等腰三角形中有底边中点时,常连底边中线,利用等腰三角形的特征“三线合一”解题.

 
例2.如图,在菱形中,是的中点,且,,求:

(1)的度数;(2)对角线的长;(3)菱形的面积.
(1)由为的中点,,可知是的垂直平分线,从而,且,则是等边三角形,从而菱形中各角都可以求出.
(2)而,利用勾股定理可以求出.
(3)由菱形的对角线互相垂直,可知.

(1)连结,
∵四边形是菱形,
∴.
∵是的中点,且,
∴.
∴是等边三角形,
∴也是等边三角形.
∴.
(2)∵四边形是菱形,
∴与互相垂直平分,
∴
∴,
∴.
(3)菱形ABCD的面积
.
说明:本题中的菱形有一个内角是60°的特殊的菱形,这个菱形有许多特点,通过解题应该逐步认识这些特点.

 
例3.如图,已知:在中,,是的平分线,交于,交于.
求证:四边形是正方形.

要判定一个四边形是正方形有这样几种方法:
①按照定义证明,②先证明它是菱形,再证它有一个角等于.③先证明它是矩形,再证它有一组邻边相等,那么本题中,因有一个角,且有两对平行线段,我们不妨采用第三种证明方法.那么由角平分线的性质定理容易证出.

∵,(已知)
∴四边形是平行四边形.
∵(已知),
∴四边形是矩形(有一个角是的平行四边形是矩形).
∵,,
(已知),
∴
∵是的平分线(已知),
∴(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等).
∴四边形是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形.
说明:正方形是特殊的平行四边形,也是邻边相等的特殊矩形,也是有一个角是直角的特殊菱形.所以在判断一个图形是否为正方形时,由它的特殊性出发,通过先证它是平行四边形、矩形和菱形来完成.

 
中考链接
【摘自2008年宜宾市中等学校招生考试试题】
1.(本小题满分8分)已知:如图,菱形ABCD中,E,F分别是CB,CD上的点,且BE=DF.
(1)求证:AE=AF.
(2)若∠B=60°,点E,F分别为BC和CD的中点,求证:△AEF为等边三角形.

由于四边形ABCD是菱形,所以其四边相等,对角相等,又BE=DF,利用边角边可证两个三角形全等,又∠B=60°,可得△ABC是等边三角形,点E,F分别为BC和CD的中点,可得∠DAF=30°,所以△AEF是等边三角形.

(1)∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=AD,∠B=∠D,
∵BE=DF
∴△ABE≌△ADF.
∴AE=AF

(2)连接AC
∵AB=BC,∠B=60°
∴△ABC是等边三角形.
E是BC的中点
∴AE⊥BC,
∴∠BAE=90°-60°=30°,
同理∠DAF=30°
∵∠BAD=120°
∴∠EAF=∠BAD-∠BAE-∠DAF=60°
∵AE=AF
∴△AEF是等边三角形.

 
【摘自2008年宁德市中等学校招生考试试题】
2.(本题满分12分)如图1,在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且DF=BE.
⑴求证:CE=CF;
⑵在图1中,若G在AD上,且∠GCE=45°,则GE=BE+GD成立吗?为什么?

⑶运用⑴⑵解答中所积累的经验和知识,完成下题:
如图2,在直角梯形ABCD中,AD∥BC(BC>AD),∠B=90°,AB=BC=12,E是AB上一点,且∠DCE=45°,BE=4,求DE的长.

对于(1),只需证明△CBE≌△CDF.对于(2),证明△ECG≌△FCG即可;对于(3),过C作CG⊥AD,交AD延长线于G.可以证明四边形ABCD 为正方形.然后在Rt△AED中,利用勾股定理列方程即可.

(1)证明:在正方形ABCD中,
∵BC=CD,∠B=∠CDF,BE=DF,
∴△CBE≌△CDF.
∴CE=CF.
(2)解:GE=BE+GD成立.
理由是:
∵△CBE≌△CDF,
∴∠BCE=∠DCF.
∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD
即∠ECF=∠BCD=90°,
又∠GCE=45°,
∴∠GCF=∠GCE=45°.
∵CE=CF,∠GCE=∠GCF,GC=GC,
∴△ECG≌△FCG.
∴GE=GF.
∴GE=DF+GD=BE+GD.
(3)解:过C作CG⊥AD,交AD延长线于G.

在直角梯形ABCD中,
∵AD∥ BC,
∴∠A=∠B=90°,∠CGA=90°,∵AB=BC,
∴四边形ABCD为正方形.
∴AG=BC=12.
已知∠DCE=45°,
根据(1)(2)可知,ED=BE+DG.
设DE=,则DG=-4,
∴AD=16-.
在Rt△AED中,
∵DE2=AD2+AE2,
即.
解这个方程,得:=10.
∴DE=10.

正方形
学科:数学 学段:初中
内容简介:学习正方形的特点,分析了正方形、菱形、矩形的关系,最后应用正方形特点解决实际问题。
矩形
学科:数学 学段:初中
内容简介:学习矩形概念、性质和矩形的判定定理。