学习理解
知识点1：矩形的性质
如图，已知四边形和四边形都是矩形，且．
求证：垂直平分．

方法探究：
由已知条件→四边形是平行四边形→；
由已知条件→→.
由等腰三角形的“三线合一”→垂直平分．
证明：
∵四边形、都是矩形
∴，，
，
∴四边形是平行四边形。
∴。
∵，
∴
在和中
.
∴
∴，
∴垂直平分．
1.基本概念
A.矩形的性质：矩形的四个角都是直角.矩形的对角线相等.
B.矩形的判定：有三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形。
C.直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
D.直角三角形的判定：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，这个三角形是直角三角形.
2.提示注意：
A.矩形具有平行四边形的所有性质.除此以外矩形的一条对角线分矩形为两个全等的直角三角形；两条对角线分矩形为四个等腰三角形.
B.矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形，矩形有两条对称轴.
C.矩形的判定既可以在四边形的基础上进行，也可以在平行四边形的基础上进行.
D.由于矩形的一条对角线分矩形为两个等腰三角形；两条对角线分矩形为四个直角三角形.而与等腰三角形、直角三角形有关的计算是常见的或基本的题型，因此利用说理的方法解决与矩形有关的计算是本节不可忽视的内容.
 
知识点2：菱形性质的应用
如图，已知中，，，垂足为，平分交于，交于，过点作，垂足为，连结．
求证：四边形是菱形．

探究思路：
要证四边形是菱形，由已知条件平分，，，可证。所以，只须证四边形是平行四边形。由于证明平行四边形的方法很多，因此此题的证法也很多．
证明方法：
∵平分，，
∴
∵，
∴
∴，
∵，
∴
∵
∴
∴
∴
∵，
∴
∴四边形是平行四边形
∵
∴四边形是菱形．
1.基本概念
A.菱形的性质：菱形的四条边都相等.
菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角.
B.菱形的判定：对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四边相等的四边形是菱形.
2.提示注意：
A.菱形具有平行四边形的所有性质.除此以外菱形的一条对角线分菱形为两个等腰三角形；两条对角线分菱形为四个直角三角形.
B.菱形的判定既可以在四边形的基础上进行，也可以在平行四边形的基础上进行.
C.菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形，菱形有两条对称轴、正方形有两条对称轴.
D.由于菱形的一条对角线分菱形为等腰三角形、直角三角形.我们知道等腰三角形、直角三角形有关的计算是常见的或基本的题型，因此利用说理的方法解决与菱形有关的计算是本节内容的重点.
 
知识点3：正方形
如图，已知：在正方形中，、分别是、上的点，若有.
求：的度数.

探索研究：
在给出的条件中，这一条件比较分散.我们不妨把和平移到同一直线上.由正方形的性质可知，所以我们延长到，使，则可以知道，
∵.又可以证得
，
∴可知，
因此可求得的度数.
解题过程：
延长到，使，连结
∵正方形，
∴,

又∵
∴
∴
∵，
∴
∴

∵
∴.
1.基本概念
A.正方形的性质：正方形的四个角是直角，四条边都相等；正方形的对角线相等并且互相垂直平分；正方形的每条对角线平分一组对角.
B.正方形的判定：有一个角是直角的菱形是正方形，对角线相等的菱形是正方形.，对角线互相垂直的矩形是正方形.
2.提示注意：
A.正方形具有矩形、菱形的所有性质.除此以外正方形的一条对角线分正方形为两个等腰直角三角形；两条对角线分正方形为四个等腰直角三角形.
B.正方形的判定既可以在平行四边形的基础上进行，也可以在矩形、菱形的基础上进行.事实上，在平行四边形的基础上判定正方形也是最终转化为在矩形、菱形的基础上进行判定的.
C.正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形，矩形有两条对称轴、菱形有两条对称轴、正方形有四条对称轴.
D.由于正方形的一条对角线分正方形为两个等腰三角形；两条对角线分正方形为四个直角三角形.而与等腰三角形、直角三角形有关的计算是常见的或基本的题型，因此利用说理的方法解决与正方形有关的计算不可忽视.
E.由于正方形的特殊性——“旋转对称”，所以解决相关正方形问题，可以借助图形的旋转解决.

典型例题
例1.如图，矩形中，延长至，使,为的中点．连结,．试说明．



 
例2.如图，在菱形中，是的中点，且,，求：

（1）的度数；（2）对角线的长；（3）菱形的面积．


 
例3.如图，已知：在中，，是的平分线，交于，交于.
求证：四边形是正方形.



 
中考链接
【摘自2008年宜宾市中等学校招生考试试题】
1.（本小题满分8分）已知:如图,菱形ABCD中,E，F分别是CB，CD上的点，且BE=DF.
(1)求证:AE=AF.
(2)若∠B=60°,点E，F分别为BC和CD的中点，求证:△AEF为等边三角形.



 
【摘自2008年宁德市中等学校招生考试试题】
2.（本题满分12分）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE．
⑴求证：CE＝CF；
⑵在图1中，若G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE＋GD成立吗？为什么？

⑶运用⑴⑵解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC＝12，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，求DE的长．