学习理解
知识点1:矩形的性质
如图,已知四边形
和四边形
都是矩形,且
.
求证:
垂直平分
.

方法探究:
由已知条件→四边形
是平行四边形→
;
由已知条件→
→
.
由等腰三角形的“三线合一”→
垂直平分
.
证明:
∵四边形
、
都是矩形
∴
,
,
,
∴四边形
是平行四边形。
∴
。
∵
,
∴
在
和
中
.
∴
∴
,
∴
垂直平分
.
1.基本概念
A.矩形的性质:矩形的四个角都是直角.矩形的对角线相等.
B.矩形的判定:有三个角是直角的四边形是矩形;对角线相等的平行四边形是矩形。
C.直角三角形的性质:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
D.直角三角形的判定:如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半,这个三角形是直角三角形.
2.提示注意:
A.矩形具有平行四边形的所有性质.除此以外矩形的一条对角线分矩形为两个全等的直角三角形;两条对角线分矩形为四个等腰三角形.
B.矩形既是中心对称图形,也是轴对称图形,矩形有两条对称轴.
C.矩形的判定既可以在四边形的基础上进行,也可以在平行四边形的基础上进行.
D.由于矩形的一条对角线分矩形为两个等腰三角形;两条对角线分矩形为四个直角三角形.而与等腰三角形、直角三角形有关的计算是常见的或基本的题型,因此利用说理的方法解决与矩形有关的计算是本节不可忽视的内容.
知识点2:菱形性质的应用
如图,已知
中,
,
,垂足为
,
平分
交
于
,交
于
,过点
作
,垂足为
,连结
.
求证:四边形
是菱形.

探究思路:
要证四边形
是菱形,由已知条件
平分
,
,
,可证
。所以,只须证四边形
是平行四边形。由于证明平行四边形的方法很多,因此此题的证法也很多.
证明方法:
∵
平分
,
,
∴
∵
,
∴
∴
,
∵
,
∴
∵
∴
∴
∴
∵
,
∴
∴四边形
是平行四边形
∵
∴四边形
是菱形.
1.基本概念
A.菱形的性质:菱形的四条边都相等.
菱形的对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角.
B.菱形的判定:对角线互相垂直的平行四边形是菱形;四边相等的四边形是菱形.
2.提示注意:
A.菱形具有平行四边形的所有性质.除此以外菱形的一条对角线分菱形为两个等腰三角形;两条对角线分菱形为四个直角三角形.
B.菱形的判定既可以在四边形的基础上进行,也可以在平行四边形的基础上进行.
C.菱形既是中心对称图形,也是轴对称图形,菱形有两条对称轴、正方形有两条对称轴.
D.由于菱形的一条对角线分菱形为等腰三角形、直角三角形.我们知道等腰三角形、直角三角形有关的计算是常见的或基本的题型,因此利用说理的方法解决与菱形有关的计算是本节内容的重点.
知识点3:正方形
如图,已知:在正方形
中,
、
分别是
、
上的点,若有
.
求:
的度数.

探索研究:
在给出的条件中,
这一条件比较分散.我们不妨把
和
平移到同一直线上.由正方形的性质可知
,所以我们延长
到
,使
,则可以知道
,
∵
.又可以证得
,
∴可知
,
因此可求得
的度数.
解题过程:
延长
到
,使
,连结
∵正方形
,
∴
,

又∵
∴
∴
∵
,
∴
∴

∵
∴
.
1.基本概念
A.正方形的性质:正方形的四个角是直角,四条边都相等;正方形的对角线相等并且互相垂直平分;正方形的每条对角线平分一组对角.
B.正方形的判定:有一个角是直角的菱形是正方形,对角线相等的菱形是正方形.,对角线互相垂直的矩形是正方形.
2.提示注意:
A.正方形具有矩形、菱形的所有性质.除此以外正方形的一条对角线分正方形为两个等腰直角三角形;两条对角线分正方形为四个等腰直角三角形.
B.正方形的判定既可以在平行四边形的基础上进行,也可以在矩形、菱形的基础上进行.事实上,在平行四边形的基础上判定正方形也是最终转化为在矩形、菱形的基础上进行判定的.
C.正方形既是中心对称图形,也是轴对称图形,矩形有两条对称轴、菱形有两条对称轴、正方形有四条对称轴.
D.由于正方形的一条对角线分正方形为两个等腰三角形;两条对角线分正方形为四个直角三角形.而与等腰三角形、直角三角形有关的计算是常见的或基本的题型,因此利用说理的方法解决与正方形有关的计算不可忽视.
E.由于正方形的特殊性——“旋转对称”,所以解决相关正方形问题,可以借助图形的旋转解决.
知识点1:矩形的性质
如图,已知四边形



求证:



方法探究:
由已知条件→四边形


由已知条件→


由等腰三角形的“三线合一”→


证明:
∵四边形


∴




∴四边形

∴

∵

∴

在



∴

∴

∴


1.基本概念
A.矩形的性质:矩形的四个角都是直角.矩形的对角线相等.
B.矩形的判定:有三个角是直角的四边形是矩形;对角线相等的平行四边形是矩形。
C.直角三角形的性质:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
D.直角三角形的判定:如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半,这个三角形是直角三角形.
2.提示注意:
A.矩形具有平行四边形的所有性质.除此以外矩形的一条对角线分矩形为两个全等的直角三角形;两条对角线分矩形为四个等腰三角形.
B.矩形既是中心对称图形,也是轴对称图形,矩形有两条对称轴.
C.矩形的判定既可以在四边形的基础上进行,也可以在平行四边形的基础上进行.
D.由于矩形的一条对角线分矩形为两个等腰三角形;两条对角线分矩形为四个直角三角形.而与等腰三角形、直角三角形有关的计算是常见的或基本的题型,因此利用说理的方法解决与矩形有关的计算是本节不可忽视的内容.
知识点2:菱形性质的应用
如图,已知















求证:四边形


探究思路:
要证四边形







证明方法:
∵



∴

∵

∴

∴


∵

∴

∵

∴

∴

∴

∵


∴

∴四边形

∵

∴四边形

1.基本概念
A.菱形的性质:菱形的四条边都相等.
菱形的对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角.
B.菱形的判定:对角线互相垂直的平行四边形是菱形;四边相等的四边形是菱形.
2.提示注意:
A.菱形具有平行四边形的所有性质.除此以外菱形的一条对角线分菱形为两个等腰三角形;两条对角线分菱形为四个直角三角形.
B.菱形的判定既可以在四边形的基础上进行,也可以在平行四边形的基础上进行.
C.菱形既是中心对称图形,也是轴对称图形,菱形有两条对称轴、正方形有两条对称轴.
D.由于菱形的一条对角线分菱形为等腰三角形、直角三角形.我们知道等腰三角形、直角三角形有关的计算是常见的或基本的题型,因此利用说理的方法解决与菱形有关的计算是本节内容的重点.
知识点3:正方形
如图,已知:在正方形






求:


探索研究:
在给出的条件中,








∵


∴可知


因此可求得

解题过程:
延长




∵正方形

∴


又∵

∴

∴

∵

∴

∴


∵

∴

1.基本概念
A.正方形的性质:正方形的四个角是直角,四条边都相等;正方形的对角线相等并且互相垂直平分;正方形的每条对角线平分一组对角.
B.正方形的判定:有一个角是直角的菱形是正方形,对角线相等的菱形是正方形.,对角线互相垂直的矩形是正方形.
2.提示注意:
A.正方形具有矩形、菱形的所有性质.除此以外正方形的一条对角线分正方形为两个等腰直角三角形;两条对角线分正方形为四个等腰直角三角形.
B.正方形的判定既可以在平行四边形的基础上进行,也可以在矩形、菱形的基础上进行.事实上,在平行四边形的基础上判定正方形也是最终转化为在矩形、菱形的基础上进行判定的.
C.正方形既是中心对称图形,也是轴对称图形,矩形有两条对称轴、菱形有两条对称轴、正方形有四条对称轴.
D.由于正方形的一条对角线分正方形为两个等腰三角形;两条对角线分正方形为四个直角三角形.而与等腰三角形、直角三角形有关的计算是常见的或基本的题型,因此利用说理的方法解决与正方形有关的计算不可忽视.
E.由于正方形的特殊性——“旋转对称”,所以解决相关正方形问题,可以借助图形的旋转解决.