学习理解
知识点1：互逆命题和逆定理
理解过程：
数学情景：
问题提出：
(1)这两个命题有什么联系和区别？
(2)我们还学过类似的问题吗？
探究结论：
第一个命题的题设是同位角相等，结论是两直线平行：第二个命题的题设是两直线平行，结论是同位角相等.第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设.
理解结论：
1.基本概念：
A.在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题.如果把一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题.
B.如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理.
2.提示注意：
A.每一个命题都有逆命题，只要将原命题的题设改成结论，并将结论改成题设，便可得到原命题的逆命题，但是原命题正确，它的逆命题未必正确.
B.一个真命题的逆命题可能是真命题，也可能是假命题，只有当其逆命题是真命题时，它们才叫做互逆定理.
C.在实际命题的真假判断中，可以应用举例法.一个假命题的逆命题可以是真命题，甚至是定理.
D.每一个命题都有逆命题.互为逆命题的两个命题不一定同真同假.
E.逆命题的构造方法：把一个命题的条件和结论交换后就可以得到它的逆命题.例如写出“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题：(1)先将已知的命题改写成“如果……,那么……”的形式.即“如果一个四边形是平行四边形,那么这个四边形的对角线互相平分”.
(2)分析条件和结论：
条件是:一个四边形是平行四边形,结论是:这个四边形的对角线互相平分.(3)交换条件和结论得到逆命题：“如果一个四边形的对角线互相平分,那么这个四边形是平行四边形”.
知识点2：线段的垂直平分线的性质
理解过程：
问题背景:
弯弯囡在折纸时，将一张长方形纸片，按照如图的样子进行对折，对折之后发现折痕MN是线段AB的垂直平分线.
他将纸片展开后，在折痕上分别取了点E,F,连结EA,EB,FA,FB,此时他凭直观感觉发现，EA=EB,FA=FB,为了弄清结论的正确性，他用刻度尺度量EA=3cm,EB=3cm,FA=2.7cm,FB=2.7cm,由此他断定“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”，并将这一结果，告诉了皮皮子.皮皮子说：要说明“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”正确只靠观察度量是不行的，还必须给出推理证明.
探究思路：
如图
(1)分析已知条件：
通过折叠知，MN是线段AB的垂直平分线，点E是直线MN上任意的一点.
(2)分析结点E到点A,B的距离相等.
(3)分析思路
AN=BN,∠ANE=∠BNE,
NE=NE→△AEN≌△BEN.
证明：因为MN是线段AB的垂直平分线，
所以AN=BN,∠ANE=∠BNE=90°,
因为NE=NE，
所以△AEN≌△BEN(SAS).
所以AE=BE.
归纳结论：
线段的垂直平分线上的一点，到一条线段两个端点距离相等.
理解结论：
1.基本概念
A.到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；反过来，线段的垂直平分线上的一点，到一条线段两个端点距离相等.
B.三角形的三条垂直平分线交于一点，并且到三边的距离相等.
2.提示注意：
A.“到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”与“线段的垂直平分线上的一点，到一条线段两个端点距离相等”是互为逆定理.
B.线段的垂直平分线性质与判定中的“距离”是点到点的距离，即两点之间的距离.
C.在运用线段的垂直平分线性质和判定证明命题时，要注意将条件列举充分，不可遗漏、凭空臆造或想当然.
D.三角形的三条垂直平分线交于一点，并且到三边的距离相等.这一定理在日常生活中应用广泛.应加以注意.
知识点3：角的平分线
理解过程：
问题背景:
(1)弯弯囡把一张剪好的∠AOB的纸片，对折，使角的两边重合，再把它展开.发现这条折痕OC就是∠AOB的平分线.如图1.
(2)如果把对折的纸片过折痕上的点P任意折叠，然后再展开如图2.则新的折痕PD、PE的长相等，而且这种等长的折痕我们可以找出无数对.由此可见，角的平分线除了有平分角的性质外，还有其它的性质.
(3)如果沿对折的纸片折痕上的点P折叠，使PD⊥OA，展开后知PE⊥OB.不仅如此，还可得到PE=PD.如图3.
探究思路：
如图3.
(1)分析已知条件：
通过折叠知，OC是∠AOB的平分线，点P是OC上任意的一点.PD⊥OA，PE⊥OB.
(2)明确结论：
PE=PD.
(3)思路分析
OC是∠AOB的平分线→∠DOP=∠EOP.
PD⊥OA，PE⊥OB→∠ODP=∠OEP.
结合OP=OP得△ODP≌△OEP.
证明：因为OC是∠AOB的平分线，
所以∠DOP=∠EOP.
因为PD⊥OA，PE⊥OB,
所以∠ODP=∠OEP.
又OP=OP，
故△ODP≌△OEP.
所以PE=PD.
结论：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
理解结论：
1.基本概念
A.在角的内部，到这个角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上.
B.三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.
C.轨迹：把所有符合某些条件的所有的点的集合叫做点的轨迹.
D.交规法作图：如已知底边及底边上的高，求作等腰三角形.
2.提示注意：
A.“在角的内部，到这个角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上”实际上是角的平分线的判定.即“点到角的两边的距离相等，该点与角的顶点所在的射线是角的平分线”
B.角平分线的性质与判定互为逆定理.一定要注意不能混淆，另外还必须注意对“距离”的理解和运用，这里的距离点是到线(角的边)的距离关系，在书写时，必须说明垂直关系.
C.轨迹方法定义有关的概念：
1.到一个角的两边的距离相等的点(在角的内部)的轨迹叫做角平分线.
2.到线段两端点的距离相等的点的轨迹叫做线段的中垂线.
3.到定点距离相等的点的轨迹叫做圆.
D.交规法图注意的问题：
1.注意直尺的作用：只能用来连结两点，过两点作直线，作已知线段的延长线，以一点为端点过另一点作射线，不能用来量长度.
2.注意语言的规范性如：
3.注意“基本作图”的规范语句的使用
4.注意不要忽略作图前的分析
三角形的作图题，通常可以分解成几个基本作图，按一定的程序串起来可以完成.而较复杂的作图题，往往要先画一个假定适合已知条件的草图，根据这个草图来分析，有时可以根据已知条件和基本作图法先作出局部三角形，以此为基础，再应用有关条件结合基本作图继续作出其余的各部分，从而完成作图，这种方法叫“三角形奠基法”.
5.注意保留作图痕迹
作图完成后，不要擦去必要的作图痕迹，要保留作图过程中的基本作图的痕迹，以体现是通过尺规作出的图形.
6.注意下结论
有时作图题并不要求写作法，但一个作图题由多个基本作图组成，为明确表达题意，不论是否要求写作法，一定要下结论指出哪个图形是所要作的图形.
知识点1：互逆命题和逆定理
理解过程：
数学情景：
问题提出：
(1)这两个命题有什么联系和区别？
(2)我们还学过类似的问题吗？
探究结论：
第一个命题的题设是同位角相等，结论是两直线平行：第二个命题的题设是两直线平行，结论是同位角相等.第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设.
理解结论：
1.基本概念：
A.在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题.如果把一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题.
B.如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理.
2.提示注意：
A.每一个命题都有逆命题，只要将原命题的题设改成结论，并将结论改成题设，便可得到原命题的逆命题，但是原命题正确，它的逆命题未必正确.
B.一个真命题的逆命题可能是真命题，也可能是假命题，只有当其逆命题是真命题时，它们才叫做互逆定理.
C.在实际命题的真假判断中，可以应用举例法.一个假命题的逆命题可以是真命题，甚至是定理.
D.每一个命题都有逆命题.互为逆命题的两个命题不一定同真同假.
E.逆命题的构造方法：把一个命题的条件和结论交换后就可以得到它的逆命题.例如写出“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题：(1)先将已知的命题改写成“如果……,那么……”的形式.即“如果一个四边形是平行四边形,那么这个四边形的对角线互相平分”.
(2)分析条件和结论：
条件是:一个四边形是平行四边形,结论是:这个四边形的对角线互相平分.(3)交换条件和结论得到逆命题：“如果一个四边形的对角线互相平分,那么这个四边形是平行四边形”.
知识点2：线段的垂直平分线的性质
理解过程：
问题背景:
弯弯囡在折纸时，将一张长方形纸片，按照如图的样子进行对折，对折之后发现折痕MN是线段AB的垂直平分线.
他将纸片展开后，在折痕上分别取了点E,F,连结EA,EB,FA,FB,此时他凭直观感觉发现，EA=EB,FA=FB,为了弄清结论的正确性，他用刻度尺度量EA=3cm,EB=3cm,FA=2.7cm,FB=2.7cm,由此他断定“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”，并将这一结果，告诉了皮皮子.皮皮子说：要说明“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”正确只靠观察度量是不行的，还必须给出推理证明.
探究思路：
如图
(1)分析已知条件：
通过折叠知，MN是线段AB的垂直平分线，点E是直线MN上任意的一点.
(2)分析结点E到点A,B的距离相等.
(3)分析思路
AN=BN,∠ANE=∠BNE,
NE=NE→△AEN≌△BEN.
证明：因为MN是线段AB的垂直平分线，
所以AN=BN,∠ANE=∠BNE=90°,
因为NE=NE，
所以△AEN≌△BEN(SAS).
所以AE=BE.
归纳结论：
线段的垂直平分线上的一点，到一条线段两个端点距离相等.
理解结论：
1.基本概念
A.到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；反过来，线段的垂直平分线上的一点，到一条线段两个端点距离相等.
B.三角形的三条垂直平分线交于一点，并且到三边的距离相等.
2.提示注意：
A.“到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”与“线段的垂直平分线上的一点，到一条线段两个端点距离相等”是互为逆定理.
B.线段的垂直平分线性质与判定中的“距离”是点到点的距离，即两点之间的距离.
C.在运用线段的垂直平分线性质和判定证明命题时，要注意将条件列举充分，不可遗漏、凭空臆造或想当然.
D.三角形的三条垂直平分线交于一点，并且到三边的距离相等.这一定理在日常生活中应用广泛.应加以注意.
知识点3：角的平分线
理解过程：
问题背景:
(1)弯弯囡把一张剪好的∠AOB的纸片，对折，使角的两边重合，再把它展开.发现这条折痕OC就是∠AOB的平分线.如图1.
(2)如果把对折的纸片过折痕上的点P任意折叠，然后再展开如图2.则新的折痕PD、PE的长相等，而且这种等长的折痕我们可以找出无数对.由此可见，角的平分线除了有平分角的性质外，还有其它的性质.
(3)如果沿对折的纸片折痕上的点P折叠，使PD⊥OA，展开后知PE⊥OB.不仅如此，还可得到PE=PD.如图3.
探究思路：
如图3.
(1)分析已知条件：
通过折叠知，OC是∠AOB的平分线，点P是OC上任意的一点.PD⊥OA，PE⊥OB.
(2)明确结论：
PE=PD.
(3)思路分析
OC是∠AOB的平分线→∠DOP=∠EOP.
PD⊥OA，PE⊥OB→∠ODP=∠OEP.
结合OP=OP得△ODP≌△OEP.
证明：因为OC是∠AOB的平分线，
所以∠DOP=∠EOP.
因为PD⊥OA，PE⊥OB,
所以∠ODP=∠OEP.
又OP=OP，
故△ODP≌△OEP.
所以PE=PD.
结论：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
理解结论：
1.基本概念
A.在角的内部，到这个角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上.
B.三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.
C.轨迹：把所有符合某些条件的所有的点的集合叫做点的轨迹.
D.交规法作图：如已知底边及底边上的高，求作等腰三角形.
2.提示注意：
A.“在角的内部，到这个角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上”实际上是角的平分线的判定.即“点到角的两边的距离相等，该点与角的顶点所在的射线是角的平分线”
B.角平分线的性质与判定互为逆定理.一定要注意不能混淆，另外还必须注意对“距离”的理解和运用，这里的距离点是到线(角的边)的距离关系，在书写时，必须说明垂直关系.
C.轨迹方法定义有关的概念：
1.到一个角的两边的距离相等的点(在角的内部)的轨迹叫做角平分线.
2.到线段两端点的距离相等的点的轨迹叫做线段的中垂线.
3.到定点距离相等的点的轨迹叫做圆.
D.交规法图注意的问题：
1.注意直尺的作用：只能用来连结两点，过两点作直线，作已知线段的延长线，以一点为端点过另一点作射线，不能用来量长度.
2.注意语言的规范性如：
3.注意“基本作图”的规范语句的使用
4.注意不要忽略作图前的分析
三角形的作图题，通常可以分解成几个基本作图，按一定的程序串起来可以完成.而较复杂的作图题，往往要先画一个假定适合已知条件的草图，根据这个草图来分析，有时可以根据已知条件和基本作图法先作出局部三角形，以此为基础，再应用有关条件结合基本作图继续作出其余的各部分，从而完成作图，这种方法叫“三角形奠基法”.
5.注意保留作图痕迹
作图完成后，不要擦去必要的作图痕迹，要保留作图过程中的基本作图的痕迹，以体现是通过尺规作出的图形.
6.注意下结论
有时作图题并不要求写作法，但一个作图题由多个基本作图组成，为明确表达题意，不论是否要求写作法，一定要下结论指出哪个图形是所要作的图形.
和点
(如图１).
，使点
.
的垂直平分线上，因此作
，
，交
，则
；
，则
；
；则
满足条件
，
，垂足分别为A，B.下列结论中不一定成立的是( )
平分
垂直平分
,从而得到答案A、B、C是正确的.
，垂足分别为点
.
；
,
是
边
上一点，
.
，交
于点
；(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明)
，交
于点
，连接
，将图形补充完整，并证明四边形
是菱形.
和
中
,
和
中
.
)，
