学习理解
知识点1:互逆命题和逆定理
理解过程:
数学情景:


问题提出:
(1)这两个命题有什么联系和区别?
(2)我们还学过类似的问题吗?
探究结论:
第一个命题的题设是同位角相等,结论是两直线平行:第二个命题的题设是两直线平行,结论是同位角相等.第一个命题的题设是第二个命题的结论,而第一个命题的结论是第二个命题的题设.
理解结论:
1.基本概念:
A.在两个命题中,如果第一个命题的题设是第二个命题的结论,而第一个命题的结论是第二个命题的题设,那么这两个命题叫做互逆命题.如果把一个命题叫做原命题,那么另一个命题叫做它的逆命题.
B.如果一个定理的逆命题也是定理,那么这两个叫做互逆定理,其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理.
2.提示注意:
A.每一个命题都有逆命题,只要将原命题的题设改成结论,并将结论改成题设,便可得到原命题的逆命题,但是原命题正确,它的逆命题未必正确.
B.一个真命题的逆命题可能是真命题,也可能是假命题,只有当其逆命题是真命题时,它们才叫做互逆定理.
C.在实际命题的真假判断中,可以应用举例法.一个假命题的逆命题可以是真命题,甚至是定理.
D.每一个命题都有逆命题.互为逆命题的两个命题不一定同真同假.
E.逆命题的构造方法:把一个命题的条件和结论交换后就可以得到它的逆命题.例如写出“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题:(1)先将已知的命题改写成“如果……,那么……”的形式.即“如果一个四边形是平行四边形,那么这个四边形的对角线互相平分”.
(2)分析条件和结论:
条件是:一个四边形是平行四边形,结论是:这个四边形的对角线互相平分.(3)交换条件和结论得到逆命题:“如果一个四边形的对角线互相平分,那么这个四边形是平行四边形”.
知识点2:线段的垂直平分线的性质
理解过程:
问题背景:
弯弯囡在折纸时,将一张长方形纸片,按照如图的样子进行对折,对折之后发现折痕MN是线段AB的垂直平分线.

他将纸片展开后,在折痕上分别取了点E,F,连结EA,EB,FA,FB,此时他凭直观感觉发现,EA=EB,FA=FB,为了弄清结论的正确性,他用刻度尺度量EA=3cm,EB=3cm,FA=2.7cm,FB=2.7cm,由此他断定“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”,并将这一结果,告诉了皮皮子.皮皮子说:要说明“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”正确只靠观察度量是不行的,还必须给出推理证明.

探究思路:
如图

(1)分析已知条件:
通过折叠知,MN是线段AB的垂直平分线,点E是直线MN上任意的一点.
(2)分析结点E到点A,B的距离相等.
(3)分析思路
AN=BN,∠ANE=∠BNE,
NE=NE→△AEN≌△BEN.
证明:因为MN是线段AB的垂直平分线,
所以AN=BN,∠ANE=∠BNE=90°,
因为NE=NE,
所以△AEN≌△BEN(SAS).
所以AE=BE.
归纳结论:
线段的垂直平分线上的一点,到一条线段两个端点距离相等.
理解结论:
1.基本概念
A.到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上;反过来,线段的垂直平分线上的一点,到一条线段两个端点距离相等.
B.三角形的三条垂直平分线交于一点,并且到三边的距离相等.
2.提示注意:
A.“到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上”与“线段的垂直平分线上的一点,到一条线段两个端点距离相等”是互为逆定理.
B.线段的垂直平分线性质与判定中的“距离”是点到点的距离,即两点之间的距离.
C.在运用线段的垂直平分线性质和判定证明命题时,要注意将条件列举充分,不可遗漏、凭空臆造或想当然.
D.三角形的三条垂直平分线交于一点,并且到三边的距离相等.这一定理在日常生活中应用广泛.应加以注意.
知识点3:角的平分线
理解过程:
问题背景:
(1)弯弯囡把一张剪好的∠AOB的纸片,对折,使角的两边重合,再把它展开.发现这条折痕OC就是∠AOB的平分线.如图1.

(2)如果把对折的纸片过折痕上的点P任意折叠,然后再展开如图2.则新的折痕PD、PE的长相等,而且这种等长的折痕我们可以找出无数对.由此可见,角的平分线除了有平分角的性质外,还有其它的性质.

(3)如果沿对折的纸片折痕上的点P折叠,使PD⊥OA,展开后知PE⊥OB.不仅如此,还可得到PE=PD.如图3.

探究思路:
如图3.
(1)分析已知条件:
通过折叠知,OC是∠AOB的平分线,点P是OC上任意的一点.PD⊥OA,PE⊥OB.
(2)明确结论:
PE=PD.
(3)思路分析
OC是∠AOB的平分线→∠DOP=∠EOP.
PD⊥OA,PE⊥OB→∠ODP=∠OEP.
结合OP=OP得△ODP≌△OEP.
证明:因为OC是∠AOB的平分线,
所以∠DOP=∠EOP.
因为PD⊥OA,PE⊥OB,
所以∠ODP=∠OEP.
又OP=OP,
故△ODP≌△OEP.
所以PE=PD.
结论:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
理解结论:
1.基本概念
A.在角的内部,到这个角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上.
B.三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等.
C.轨迹:把所有符合某些条件的所有的点的集合叫做点的轨迹.
D.交规法作图:如已知底边及底边上的高,求作等腰三角形.
2.提示注意:
A.“在角的内部,到这个角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上”实际上是角的平分线的判定.即“点到角的两边的距离相等,该点与角的顶点所在的射线是角的平分线”
B.角平分线的性质与判定互为逆定理.一定要注意不能混淆,另外还必须注意对“距离”的理解和运用,这里的距离点是到线(角的边)的距离关系,在书写时,必须说明垂直关系.
C.轨迹方法定义有关的概念:
1.到一个角的两边的距离相等的点(在角的内部)的轨迹叫做角平分线.
2.到线段两端点的距离相等的点的轨迹叫做线段的中垂线.
3.到定点距离相等的点的轨迹叫做圆.
D.交规法图注意的问题:
1.注意直尺的作用:只能用来连结两点,过两点作直线,作已知线段的延长线,以一点为端点过另一点作射线,不能用来量长度.
2.注意语言的规范性如:
3.注意“基本作图”的规范语句的使用
4.注意不要忽略作图前的分析
三角形的作图题,通常可以分解成几个基本作图,按一定的程序串起来可以完成.而较复杂的作图题,往往要先画一个假定适合已知条件的草图,根据这个草图来分析,有时可以根据已知条件和基本作图法先作出局部三角形,以此为基础,再应用有关条件结合基本作图继续作出其余的各部分,从而完成作图,这种方法叫“三角形奠基法”.
5.注意保留作图痕迹
作图完成后,不要擦去必要的作图痕迹,要保留作图过程中的基本作图的痕迹,以体现是通过尺规作出的图形.
6.注意下结论
有时作图题并不要求写作法,但一个作图题由多个基本作图组成,为明确表达题意,不论是否要求写作法,一定要下结论指出哪个图形是所要作的图形.
知识点1:互逆命题和逆定理
理解过程:
数学情景:


问题提出:
(1)这两个命题有什么联系和区别?
(2)我们还学过类似的问题吗?
探究结论:
第一个命题的题设是同位角相等,结论是两直线平行:第二个命题的题设是两直线平行,结论是同位角相等.第一个命题的题设是第二个命题的结论,而第一个命题的结论是第二个命题的题设.
理解结论:
1.基本概念:
A.在两个命题中,如果第一个命题的题设是第二个命题的结论,而第一个命题的结论是第二个命题的题设,那么这两个命题叫做互逆命题.如果把一个命题叫做原命题,那么另一个命题叫做它的逆命题.
B.如果一个定理的逆命题也是定理,那么这两个叫做互逆定理,其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理.
2.提示注意:
A.每一个命题都有逆命题,只要将原命题的题设改成结论,并将结论改成题设,便可得到原命题的逆命题,但是原命题正确,它的逆命题未必正确.
B.一个真命题的逆命题可能是真命题,也可能是假命题,只有当其逆命题是真命题时,它们才叫做互逆定理.
C.在实际命题的真假判断中,可以应用举例法.一个假命题的逆命题可以是真命题,甚至是定理.
D.每一个命题都有逆命题.互为逆命题的两个命题不一定同真同假.
E.逆命题的构造方法:把一个命题的条件和结论交换后就可以得到它的逆命题.例如写出“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题:(1)先将已知的命题改写成“如果……,那么……”的形式.即“如果一个四边形是平行四边形,那么这个四边形的对角线互相平分”.
(2)分析条件和结论:
条件是:一个四边形是平行四边形,结论是:这个四边形的对角线互相平分.(3)交换条件和结论得到逆命题:“如果一个四边形的对角线互相平分,那么这个四边形是平行四边形”.
知识点2:线段的垂直平分线的性质
理解过程:
问题背景:
弯弯囡在折纸时,将一张长方形纸片,按照如图的样子进行对折,对折之后发现折痕MN是线段AB的垂直平分线.

他将纸片展开后,在折痕上分别取了点E,F,连结EA,EB,FA,FB,此时他凭直观感觉发现,EA=EB,FA=FB,为了弄清结论的正确性,他用刻度尺度量EA=3cm,EB=3cm,FA=2.7cm,FB=2.7cm,由此他断定“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”,并将这一结果,告诉了皮皮子.皮皮子说:要说明“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”正确只靠观察度量是不行的,还必须给出推理证明.

探究思路:
如图

(1)分析已知条件:
通过折叠知,MN是线段AB的垂直平分线,点E是直线MN上任意的一点.
(2)分析结点E到点A,B的距离相等.
(3)分析思路
AN=BN,∠ANE=∠BNE,
NE=NE→△AEN≌△BEN.
证明:因为MN是线段AB的垂直平分线,
所以AN=BN,∠ANE=∠BNE=90°,
因为NE=NE,
所以△AEN≌△BEN(SAS).
所以AE=BE.
归纳结论:
线段的垂直平分线上的一点,到一条线段两个端点距离相等.
理解结论:
1.基本概念
A.到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上;反过来,线段的垂直平分线上的一点,到一条线段两个端点距离相等.
B.三角形的三条垂直平分线交于一点,并且到三边的距离相等.
2.提示注意:
A.“到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上”与“线段的垂直平分线上的一点,到一条线段两个端点距离相等”是互为逆定理.
B.线段的垂直平分线性质与判定中的“距离”是点到点的距离,即两点之间的距离.
C.在运用线段的垂直平分线性质和判定证明命题时,要注意将条件列举充分,不可遗漏、凭空臆造或想当然.
D.三角形的三条垂直平分线交于一点,并且到三边的距离相等.这一定理在日常生活中应用广泛.应加以注意.
知识点3:角的平分线
理解过程:
问题背景:
(1)弯弯囡把一张剪好的∠AOB的纸片,对折,使角的两边重合,再把它展开.发现这条折痕OC就是∠AOB的平分线.如图1.

(2)如果把对折的纸片过折痕上的点P任意折叠,然后再展开如图2.则新的折痕PD、PE的长相等,而且这种等长的折痕我们可以找出无数对.由此可见,角的平分线除了有平分角的性质外,还有其它的性质.

(3)如果沿对折的纸片折痕上的点P折叠,使PD⊥OA,展开后知PE⊥OB.不仅如此,还可得到PE=PD.如图3.

探究思路:
如图3.
(1)分析已知条件:
通过折叠知,OC是∠AOB的平分线,点P是OC上任意的一点.PD⊥OA,PE⊥OB.
(2)明确结论:
PE=PD.
(3)思路分析
OC是∠AOB的平分线→∠DOP=∠EOP.
PD⊥OA,PE⊥OB→∠ODP=∠OEP.
结合OP=OP得△ODP≌△OEP.
证明:因为OC是∠AOB的平分线,
所以∠DOP=∠EOP.
因为PD⊥OA,PE⊥OB,
所以∠ODP=∠OEP.
又OP=OP,
故△ODP≌△OEP.
所以PE=PD.
结论:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
理解结论:
1.基本概念
A.在角的内部,到这个角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上.
B.三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等.
C.轨迹:把所有符合某些条件的所有的点的集合叫做点的轨迹.
D.交规法作图:如已知底边及底边上的高,求作等腰三角形.
2.提示注意:
A.“在角的内部,到这个角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上”实际上是角的平分线的判定.即“点到角的两边的距离相等,该点与角的顶点所在的射线是角的平分线”
B.角平分线的性质与判定互为逆定理.一定要注意不能混淆,另外还必须注意对“距离”的理解和运用,这里的距离点是到线(角的边)的距离关系,在书写时,必须说明垂直关系.
C.轨迹方法定义有关的概念:
1.到一个角的两边的距离相等的点(在角的内部)的轨迹叫做角平分线.
2.到线段两端点的距离相等的点的轨迹叫做线段的中垂线.
3.到定点距离相等的点的轨迹叫做圆.
D.交规法图注意的问题:
1.注意直尺的作用:只能用来连结两点,过两点作直线,作已知线段的延长线,以一点为端点过另一点作射线,不能用来量长度.
2.注意语言的规范性如:
3.注意“基本作图”的规范语句的使用
4.注意不要忽略作图前的分析
三角形的作图题,通常可以分解成几个基本作图,按一定的程序串起来可以完成.而较复杂的作图题,往往要先画一个假定适合已知条件的草图,根据这个草图来分析,有时可以根据已知条件和基本作图法先作出局部三角形,以此为基础,再应用有关条件结合基本作图继续作出其余的各部分,从而完成作图,这种方法叫“三角形奠基法”.
5.注意保留作图痕迹
作图完成后,不要擦去必要的作图痕迹,要保留作图过程中的基本作图的痕迹,以体现是通过尺规作出的图形.
6.注意下结论
有时作图题并不要求写作法,但一个作图题由多个基本作图组成,为明确表达题意,不论是否要求写作法,一定要下结论指出哪个图形是所要作的图形.