数理天地 > 线段的垂直平分线与角的平分线

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学习理解
知识点1:互逆命题和逆定理
理解过程:
数学情景:

问题提出:
(1)这两个命题有什么联系和区别?
(2)我们还学过类似的问题吗?
探究结论:
第一个命题的题设是同位角相等,结论是两直线平行:第二个命题的题设是两直线平行,结论是同位角相等.第一个命题的题设是第二个命题的结论,而第一个命题的结论是第二个命题的题设.
理解结论:
1.基本概念:
A.在两个命题中,如果第一个命题的题设是第二个命题的结论,而第一个命题的结论是第二个命题的题设,那么这两个命题叫做互逆命题.如果把一个命题叫做原命题,那么另一个命题叫做它的逆命题.
B.如果一个定理的逆命题也是定理,那么这两个叫做互逆定理,其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理.
2.提示注意:
A.每一个命题都有逆命题,只要将原命题的题设改成结论,并将结论改成题设,便可得到原命题的逆命题,但是原命题正确,它的逆命题未必正确.
B.一个真命题的逆命题可能是真命题,也可能是假命题,只有当其逆命题是真命题时,它们才叫做互逆定理.
C.在实际命题的真假判断中,可以应用举例法.一个假命题的逆命题可以是真命题,甚至是定理.
D.每一个命题都有逆命题.互为逆命题的两个命题不一定同真同假.
E.逆命题的构造方法:把一个命题的条件和结论交换后就可以得到它的逆命题.例如写出“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题:(1)先将已知的命题改写成“如果……,那么……”的形式.即“如果一个四边形是平行四边形,那么这个四边形的对角线互相平分”.
(2)分析条件和结论:
条件是:一个四边形是平行四边形,结论是:这个四边形的对角线互相平分.(3)交换条件和结论得到逆命题:“如果一个四边形的对角线互相平分,那么这个四边形是平行四边形”.
 
知识点2:线段的垂直平分线的性质
理解过程:
问题背景:
弯弯囡在折纸时,将一张长方形纸片,按照如图的样子进行对折,对折之后发现折痕MN是线段AB的垂直平分线.

他将纸片展开后,在折痕上分别取了点E,F,连结EA,EB,FA,FB,此时他凭直观感觉发现,EA=EB,FA=FB,为了弄清结论的正确性,他用刻度尺度量EA=3cm,EB=3cm,FA=2.7cm,FB=2.7cm,由此他断定“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”,并将这一结果,告诉了皮皮子.皮皮子说:要说明“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”正确只靠观察度量是不行的,还必须给出推理证明.

探究思路:
如图

(1)分析已知条件:
通过折叠知,MN是线段AB的垂直平分线,点E是直线MN上任意的一点.
(2)分析结点E到点A,B的距离相等.
(3)分析思路
AN=BN,∠ANE=∠BNE,
NE=NE→△AEN≌△BEN.
证明:因为MN是线段AB的垂直平分线,
所以AN=BN,∠ANE=∠BNE=90°,
因为NE=NE,
所以△AEN≌△BEN(SAS).
所以AE=BE.
归纳结论:
线段的垂直平分线上的一点,到一条线段两个端点距离相等.
理解结论:
1.基本概念
A.到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上;反过来,线段的垂直平分线上的一点,到一条线段两个端点距离相等.
B.三角形的三条垂直平分线交于一点,并且到三边的距离相等.
2.提示注意:
A.“到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上”与“线段的垂直平分线上的一点,到一条线段两个端点距离相等”是互为逆定理.
B.线段的垂直平分线性质与判定中的“距离”是点到点的距离,即两点之间的距离.
C.在运用线段的垂直平分线性质和判定证明命题时,要注意将条件列举充分,不可遗漏、凭空臆造或想当然.
D.三角形的三条垂直平分线交于一点,并且到三边的距离相等.这一定理在日常生活中应用广泛.应加以注意.
 
知识点3:角的平分线
理解过程:
问题背景:
(1)弯弯囡把一张剪好的∠AOB的纸片,对折,使角的两边重合,再把它展开.发现这条折痕OC就是∠AOB的平分线.如图1.

(2)如果把对折的纸片过折痕上的点P任意折叠,然后再展开如图2.则新的折痕PD、PE的长相等,而且这种等长的折痕我们可以找出无数对.由此可见,角的平分线除了有平分角的性质外,还有其它的性质.

(3)如果沿对折的纸片折痕上的点P折叠,使PD⊥OA,展开后知PE⊥OB.不仅如此,还可得到PE=PD.如图3.

探究思路:
如图3.
(1)分析已知条件:
通过折叠知,OC是∠AOB的平分线,点P是OC上任意的一点.PD⊥OA,PE⊥OB.
(2)明确结论:
PE=PD.
(3)思路分析
OC是∠AOB的平分线→∠DOP=∠EOP.
PD⊥OA,PE⊥OB→∠ODP=∠OEP.
结合OP=OP得△ODP≌△OEP.
证明:因为OC是∠AOB的平分线,
所以∠DOP=∠EOP.
因为PD⊥OA,PE⊥OB,
所以∠ODP=∠OEP.
又OP=OP,
故△ODP≌△OEP.
所以PE=PD.
结论:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
理解结论:
1.基本概念
A.在角的内部,到这个角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上.
B.三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等.
C.轨迹:把所有符合某些条件的所有的点的集合叫做点的轨迹.
D.交规法作图:如已知底边及底边上的高,求作等腰三角形.
2.提示注意:
A.“在角的内部,到这个角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上”实际上是角的平分线的判定.即“点到角的两边的距离相等,该点与角的顶点所在的射线是角的平分线”
B.角平分线的性质与判定互为逆定理.一定要注意不能混淆,另外还必须注意对“距离”的理解和运用,这里的距离点是到线(角的边)的距离关系,在书写时,必须说明垂直关系.
C.轨迹方法定义有关的概念:
1.到一个角的两边的距离相等的点(在角的内部)的轨迹叫做角平分线.
2.到线段两端点的距离相等的点的轨迹叫做线段的中垂线.
3.到定点距离相等的点的轨迹叫做圆.
D.交规法图注意的问题:
1.注意直尺的作用:只能用来连结两点,过两点作直线,作已知线段的延长线,以一点为端点过另一点作射线,不能用来量长度.
2.注意语言的规范性如:
3.注意“基本作图”的规范语句的使用
4.注意不要忽略作图前的分析
三角形的作图题,通常可以分解成几个基本作图,按一定的程序串起来可以完成.而较复杂的作图题,往往要先画一个假定适合已知条件的草图,根据这个草图来分析,有时可以根据已知条件和基本作图法先作出局部三角形,以此为基础,再应用有关条件结合基本作图继续作出其余的各部分,从而完成作图,这种方法叫“三角形奠基法”.
5.注意保留作图痕迹
作图完成后,不要擦去必要的作图痕迹,要保留作图过程中的基本作图的痕迹,以体现是通过尺规作出的图形.
6.注意下结论
有时作图题并不要求写作法,但一个作图题由多个基本作图组成,为明确表达题意,不论是否要求写作法,一定要下结论指出哪个图形是所要作的图形.
 
 

典型例题
【例1】下列命题:①对顶角相等;②等腰三角形的两个底角相等;③两直线平行,同位角相等;其中逆命题为真命题的有_____.(请填上所有符合题意的序号)

①“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”,它是假命题.如图1中,∠1=30°,∠2=30°,显然∠1与∠2不是对顶角;
②“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题为“有两个角相等的三角形是等腰三角形”,它是真命题;
③“两直线平行,同位角相等”的逆命题为“同位角相等,两直线平行”,它也是真命题.

是②、③.
说明:②、③两个命题的逆命题的证明,请同学们自己完成.

 
【例2】给出以下两个定理
①线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等;
②到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.
应用上述定理进行如下推理,如图,直线l是线段MN的垂直平分线.

∵点A在直线l上,
∴AM=AN(  ).
∵BM=BN,
∴点B在直线l上(  ).
∵CM≠CN,
∴点C不在直线l上.
这是因为如果点C在直线l上,
那么CM=CN(  ).
这与条件CM≠CN矛盾.
以上推理中各括号内应注明的理由依次是(  )
A.②①①
B.②①②
C.①②②
D.①②①
由于给定的理由是线段垂直平分线的性质和判定.性质中的结论形式是线段相等;判定中的结论是点线段的垂直平分线上.因此从推理的过程中的“所以”语句上,即可得到答案.应选D.

D
说明:本题是一道阅读理解题,考查对线段的垂直平分线的性质与判定的区分,解答时一定要认真阅读文字,正确写出理由.

 
【例3】已知:如图,在△ABC中,∠BAC的平分线与BC边的垂直平分线相交于点P,过点P作AB、AC(或延长线)的垂线,垂足分别是M、N.求证:BM=CN.

要证BM=CN,由图形特征可构造以BM、CN为边的两个三角形,并证明这两个三角形全等,考虑∠BAC的平分线与BC边的垂直平分线相交于点P,于是连结PB、PC,则可利用垂直平分线和角平分线的知识即可证明.

因为AP是角平分线,PM⊥AB,PN⊥AC,
所以PM=PN,
又因为PD是BC的垂直平分线,
所以PB=PC,
在Rt△PBM和Rt△PCN中,
因为PB=PC,PM=PN,
所以Rt△PBM≌Rt△PCN(HL).
所以BM=CN(全等三角形的对应边相等).
说明:这是一道垂直平分线与角平分线的综合运用题,省去了两次全等的证明,相信同学们一定体会到垂直平分线定理与角平分线定理在几何证明中的重要性了.

 
【例4】已知:和点(如图1).
求作:点,使点在的平分线上,且.
由可知点在线段的垂直平分线上,因此作的平分线和线段的垂直平分线,它们的交点即为符合条件的点.

作法:如图2,
(1)作的平分线,
(2)连结,
(3)作线段的垂直平分线,交于点,则点即为所要求作的点.
说明:利用交规法作图关键分析特殊点确定的顺序.

 
中考链接
【摘自2009年内蒙古包头中考数学试题】
(本题3分)已知下列命题:
①若,则;
②若,则;
③角的平分线上的点到角的两边的距离相等;
④平行四边形的对角线互相平分.
其中原命题与逆命题均为真命题的个数是(  )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
本题考查命题的真假性,是易错题,本题要求是原命题与逆例题的同真,切忌不要只判断原命题的真假.
①中;则显然原命题正确,但其逆命题不正确,如a=-1,b=2满足,但不满足a>0,b>0.
②中当满足条件,但不满足,显然原命题不正确.
③的原命题和逆命题是角平分线的性质和判定.
④的原命题和逆命题是平行四边形的性质和判定.所以符合条件的只有③和④,
故选B.

B

 
【摘自2009年山东省临沂市中等学校招生考试试题】
(本小题3分)如图,OP平分,,,垂足分别为A,B.下列结论中不一定成立的是( )

A.
B.平分
C.
D.垂直平分
本题考查的是三角形全等和角平分线的性质.由已知条件
很容易得到图中,从而得到答案A、B、C是正确的.

D

 
【摘自2009年.湖南省怀化市中等学校招生考试试题】
(本题满分6分)如图,P是∠BAC内的一点,,垂足分别为点.
求证:(1);
(2)点P在∠BAC的角平分线上.

本题考查三角形全等的判定,只需添加辅助线——连结AP即可.


证明:(1)如图1,连结AP,
∵,
∴∠AEP=∠AFP=90°
又AE=AF,AP=AP,
∴Rt△AEP≌Rt△AFP,
∴PE=PF.
(2)∵Rt△AEP≌Rt△AFP,
∴∠EAP=∠FAP,
∴AP是∠BAC的角平分线,
故点P在∠BAC的角平分线上

 
【摘自2009年山西省太原市中等学校招生考试试题】
(本题9分)如图所示,∠BAC=∠ABD,AC=BD,点O是AD、BC的交点,点E是AB的中点.试判断OE和AB的位置关系,并给出证明.

由已知条件很容易得到△BAC≌△ABD,得到∠OBA=∠OAB,从而判定出△OAB是等腰三角形,由等腰三角形的三线合一即可得出结论.

OE⊥AB.
证明:在△BAC和△ABD中,

∴△BAC≌△ABD.
∴∠OBA=∠OAB,
∴OA=OB.
又∵AE=BE,
∴OE⊥AB.
(注:若开始未给出判断“OE⊥AB”,但证明过程正确,不扣分)

 
【摘自2009年山西省太原市中等学校招生考试试题】
(本小题满分9分)如图,是边上一点,.
(1)在图中作的角平分线,交于点;(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法和证明)
(2)在(1)中,过点画的垂线,垂足为点,交于点,连接,将图形补充完整,并证明四边形是菱形.

根据尺规作图的基本方法作出的角平分线,交于点;证明四边形是菱形可证明四边形是平行四边形,再证明邻边相等.

(1)如图,射线为所求作的图形.

(2)方法一:
∵平分
∴
∵
∴
∴
∵
∴
在和中
∴
∵
∴四边形是平行四边形.
∵
∴四边形是菱形.
方法二:同方法一:
,.
∵于点,
∴
在和中
∴.
∴四边形是平行四边形.
∵(或),
∴四边形是菱形.
角的平分线的性质
学科:数学 学段:初中
内容简介:通过动手实验得出角的平分线的两个性质:角平分线上的点到角两边的距离相等;到角两边的距离相等的点在角的平分线上。